1. Ықтималдықтар теориясы пәні. Тәжірибе, тәжірибенің нәтижесі. Мысалдар. (,,) ықтималдықтар кеңiстiгi сынақтың математикалық моделi.

Ықтималдық теориясының пәні ретінде нәтижелер жиынынын (немесе баылау)сипаттайтын барлық ойланған нәтижелер тәжірибе ретінде түсінетін кездейсоқтың математикалық талдауы. «Кездейсоқтық» барлық мүмкін нәтижелер белгілі бірақ қайсысы бірінші болатыны алдын ала белгісіз. Мынадай түсініктерді ажырата білуіміз қажет: Тәжірибе біздің мазмұндағыдай ол бақылау, сынау және оның іске асуы болып табылады. Тәжірибе «тиынның бір рет лақтырылуы» оның барлық мүмүкін болатын нәтижелерін анықтайды- Г(герб) және Р (решетка). Сонымен бірге тәжірибенің бір іске асуы – нақты тиынның лақтырылуы, нақты нәтиже береді- герб түсуі немесе решетканың түсуі. Ықтималдықтар теориясының аксиоматизациясы аксиоманы таңдаудағы сияқты әртүрлі тәсілдермен жүруі мүмкін, сол сияқты негізгі түсініктер мен негізгі сәйкестіктерде де сондай. Егер аксиома жүйесінің мүмкін қарапайымдылығы сол сияқты одан шығатын теорияны құрастыру мақсатына қарайтын болсақ, онда элементарлық оқиға, оқиға және оқиға ықтималдығы түсінігі анықталады

Математикалық модель. Егер киоскі мысалындағы қарапайым атты арнайы математикалық терминдермен алмастырайық:

Тауар - элементарлық оқиға ;

Тауар бағасы – элементарлық оқиғаның ықтималдығы Р(w);

Қандайда бір тауарлардан тұратын пакет – элементарлық оқиғаның сәйкес тауарларынан тұратын пакет А оқиғасы;

Пакет бағасы – оқиға ықтималдығы Р(А) (оқиғалардан тұратын элементарлық оқиғалардың ықтималдығының қосындысына тең сан);

Киоск - W жиын, барлық элементарлық оқиғалардан тұрады. (қысқаша: элементарлық оқиғаның кеңістігі W = {₁,..., _N }), онда ықтималдықтар моделі - ықтималдықтар теориясын түсіну үшін қажетті теориялық база

2. Тәжірибе жүргіздік, нәтижесі белгілі, оқиға орындалды ма? Оқиғаларға амалдар қолдану. Де Морган заңдары.

Тәжірибе жүргіздік, нәтижесі белгілі, егер тәжірибеде элементар оқиға ретінде оқиғада жататын болса,онда оқиға орындалды деп есептейміз, керіснше болса оқиғаның орындалмағаны.

Амалдар

1. Қосынды (бірігуі) деп- А жане В оқиғаларының ең болмағанда біреуіне тиісті оқиға-дан тұратын оқиғаны айтамыз.

2. Көбейтінді (қиылысуы) – А жане В оқ-ң екуіне де ортақ эл-р оқ-дан тұратын оқиғаны айт-з.

3. Айырымы – А оқ-на тиесілі, бірақ В оқ-на тиесілі емес элементар оқ-дан тұратын оқ-ны айт-з.

4. А оқиғасына қарама қарсы (кері) оқиға- А оқ-на тиесілі емес ЭО-дан тұратын оқ-ны айт-з.

_{– де Морган заңдары}

_{Аныктама:Егер А окигасына А тиесілі әрбір элементар окиға В окиғасына да тиесілі болатын болса онда А окиғасы В окиғасына ілестіреді диди.}

3. Көмекші модель «Киоск». Ықтималдық модель. Тиынды бір және екі рет лақтырудың көмекші және ықтималдық моделдері.

Көмекші модель. Осы идеяның іске асыруы.

Әрқайсысы бір данадан әртүрлі тауардан тұратын тауар киоскісін алайық, оның жалпы бағасы 1 бірлікке тең (сол бірлікке кез-келген бағаны алуға болады: 1317321). Тауарлардың бағасы бір-біріне сәйкес келуі мүмкін. Пакетке қандайда бір тауарларды салайық – бос пакет киоскідегі барлық тауарлардан тұрады. Сонда пакет бағасы пакеттегі тауардың бағасына тең болады. Осыдан былай қорытындылауға болады, «Көмекші модель «Киоск»». Тәжірибеге және оның нәтижесіне мысалдар келтірейік.

М ы с а л 1. Тиынның бір рет лақтырылуы. Тиынды лақтырайық немесе ықтималдықтыр теориясында айтқандай тәжірибені іске асырайық. Тиын герб немесе решетка болып түседі. Тәжірибе нәтижесі Г (гербтің түсуі) немесе Р (решетканың түсуі) болып табылады. «Киоск» моделіндегі берілген тәжірибедегі барлық мүмкін нәтижелер – Г және Р тауарларынан тұрады, ал барлық «Киоск» Г және Р болатын – екі элементті жиыннан {Г;Р} тұрады.

М ы с а л 2. тиынның екі рет лақтырылсын. Лақтырудың барлық мүмкін нәтижелері «тауарды» құрады: ГР-бірінші лақтырған кезде «герб», ал екіншісінде-«решетка» түсті. ГГ- екі рет лақтырғанның әр біреуінде «герб түсті»; РГ и РР – бірінші лақтырғанда екі жағдайда да «решетка», ал екіншісінде «герб»және «решетка» сәйкесінше түсті.

Тәжірибенің көмекші және ықтималдылық модельдері. Тиынның бір рет және екі рет лақтырылуы.

Екі модельді қарастырамыз: Көмекші модель «Киоск» және осындай ықтималдық терминындағы ықтималдылық моделі. Бұл екі модельді 1 және 2 мысалдарда қолданамыз. Тиынның Г - «герб» және Р - «решетка» жағымен лақтырылуы және бірден алтыға дейінгі цифрынан тұратын ойын сүйегінің лақтырылуы. Ойын сүйегінің жақтары және қарама – қарсы жақтарындағы олардың қосындысы жетіге тең болу керек. Көмекші модель «Киоск». Тиынның бір рет лақтырылуы.

М ы с а л 1: лақтырудың барлық мүмкін нәтижелері мына таварлардан тұрады: Г және Р және киоск {Г;Р}. Тавар бағасы: Г таварының бағасы теріс емес р санына тең, Р таварының бағасы теріс емес q санына тең. Барлық таварлардың – киоскының барлық бағасы p+q=1 тең. Пакеттер: бос Ø; бір Г , бір Р; Г және Р дан тұрады – барлық киоск. Соған байланысты пакет бағасы: бос пакет 0 ге тең; бір Г р - ға тең; бір Р q – тең. Г және Р барлық киоскдан тұрады - p+q=1тең. Ықтималдықтар терминынан:

• Тиынның бір рет лақтыру кезіндегі ықтималдылық моделі:

• барлық мүмкін элементарлық оқиғалар ω₁=Г және ω₂=Р элементарлық оқиғалар кеңістігін Ω={ω₁;ω₂} құрады.

• Барлық мүмкін оқиғалар: А₀= Ø, А₁={ω₁}, А₂={ω₂}, А₃={ω₁; ω₂}=Ω.

• Ықтималдықтар: элементарлық оқиғалар ықтималдықтары Р(ω₁)=Р(Г)=р и Р(ω₂)=Р(Р)=q, соған байланысты оқиғалар ықтималдығы Р(А₀)=0, Р(А₁) = р, Р(А₂) = q, Р(А₃) = р + q = 1.

• Тиынның екі рет лақтыру кезіндегі көмекші модель « Киоск»

М ы с а л 2: «Киоск» барлығы 4 «тауардан» тұрады: ГР, ГГ, РГ, РР; бағалары – теріс емес сандар - р₁, р₂, р₃, р_{4 ;} сәйкесінше р₁ + р₂ + р₃ + р₄ = 1. Пакеттерді және оның бағаларын есептейміз:

• бос Ø - 0;

• бір тауармен: {ГР} – р1, {ГГ} – р2, {РГ} – р3, {РР} – р4,

• екі тауармен: {ГР, ГГ} – р1 + р2, {ГР, РГ} – р1 + р3, {ГГ, РГ} – р2 + р3, {ГР, РР} – р1 + р4, {ГГ, РР} – р2 + р4, {РГ, РР} – р3 + р4;

• үш тауармен: {ГР, ГГ,РГ} – р1+ р2+р3, {ГР, ГГ, РР} – р1+ р2+ р4, {ГР, РГ,РР} – р1 + р3+ р4, {ГГ, РГ,РР} – р₂ + р₃ + р₄,

• Енді төрт тауармен, яғни «Киосктың» барлығы {ГР, ГГ, РГ, РР} – р₁ +р₂ + р ₃+ р₄ = 1.

Ықтималдықтар терминынан: Тиынның екі рет лақтыру кезіндегі ықтималдылық моделі:

• элементарлық оқиғалар кеңістігі Ω – барлық мүмкін элементарлы оқиғалардан тұратын жиын. Барлық мүмкін болатын элементарлы оқиғалар ω1=ГР, ω2=ГГ, ω3=РГ, ω4= РР элементарлық оқиғалар кеңістігін құрады Ω={ω1,ω2,ω3,ω4}.

• барлық мүмкін болатын оқиғалар ( элементарлық оқиғалар кеңістігінің жиыншасы ): А0= Ø, А1={ω1}, А2={ω2}, А3= {ω3}, А4={ω4}, А5={ω1; ω2}, А6={ω1; ω3}, А7={ω1; ω4}, А8={ω2; ω3}, А9={ω2; ω4}, А10={ω3; ω4}, А11={ω1; ω2 ;ω3}, А12={ω1; ω3 ;ω4}, А13={ω1; ω2 ;ω4}, А14={ω2; ω3 ;ω4}, А15={ω1;ω2 ;ω3; ω4}= Ω.

• оқиғалар ықтималдығы ( аргументі оқиға болып табылатын сандық функция ): Р(А0) = 0, Р(А1) = р1, Р(А2) = р2, Р(А3) = р3, Р(А4) = р4, Р(А5)=р1+р2, Р(А6)=р1+р3, Р(А7)=р1+р4, Р(А8)=р2+р3, Р(А9)=р2+р4, Р(А10)=р3+р4, Р(А11) = р1+ р2 +р3, Р(А12) = р1+ р2 +р4, Р(А13) = р1+ р2 +р4, Р(А14) = р2+р3 +р4, Р(А15) = р(Ω) = р1+ р2 +р3+р4.