Лекция 2.3. Запас устойчивости и его показатели
Появление данного понятия вызвано следующими соображениями :
При разработке систем управления вопрос об устойчивости системы имеет практический смысл только при наличии достаточной гарантии сохранения устойчивости в процессе ее эксплуатации.
Близость системы к границе устойчивости, непосредственно влияет на характер и время затухания переходного процесса.
Удовлетворить данным требования позволяет выбор границ окрестности точки с координатами (-1,j0),в которую годограф (АФЧХ)_ разомкнутой системы не должен заходить (является запретной для АФЧХ). Такую запретную область связывают с понятием - запас устойчивости.
Границы этой области можно оценивать с помощью различных показателей. Рассмотрим эти показатели.
1. Запасы по фазе и модулю
Запасы по фазе
определяется величинами углов,
отсчитываемых от отрицательного
направления действительной оси до
направлений радиусов-векторов, проходящих
через ближайшие точки пересечения АФЧХ
с единичной окружностью. Запас по фазе
обозначается символом -"
".
Запасы по модулю
определяется длинами отрезков
действительной оси от точки с координатами
-1,j0 до ближайших точек АФЧХ лежащих на
этой оси. Запас по модулю обозначается
символом - "
"
На Рис.. показана такая АФЧХ разомкнутой системы, для которой оценить запасы устойчивости можно одним значением запаса по фазе и одним значением запаса по модулю.
На Рис. приведена АФЧХ условно -устойчивая системы со слабодемпфированным звеном, в которой для определения запаса устойчивости требуются две оценки запаса по фазе и две оценки запаса по модулю.
При переход к ЛЧХ
оценка запаса по модулю "
"
заменяется на оценку "
".
Эту величину часто называют запасом по
амплитуде. Оценки запасов устойчивости
в координатах ЛЧХ для обоих примеров
показаны соответственно на Рис. и Рис.
Достаточными считаются запасы устойчивости, оцениваемые значениями оценок ЛЧХ:
- запас по фазе - от 30 до 60 градусов;
- запас по амплитуде
(
)-от -6 до-20 дБ.
2. Показатель колебательности
Как показано выше, при усложнении вида АФЧХ возникают определенные неудобства задания запаса устойчивости, вызванные большим количеством его оценок. Исправить этот недостаток позволяет переход к определению запаса устойчивости с помощью такого показателя, который одним своим значением позволяет определить границы запретной области АФЧХ разомкнутой системы. Такой интегрированный показатель носит название - показатель колебательности.
Показатель колебательности обозначается символом "M".
Данный показатель количественно определяется по АЧХ замкнутой системы (приведенной к структуре следящей системы) и равен максимальному значению этой характеристики. Рис.. При использовании ЛАХ он вычисляется по формуле:
М=
где
а - максимальное значение ЛАХ замкнутой системы в децибеллах.
При М=1, колебательный
процесс исчезает, переходная функция
имеет апериодический характер. Значение
характеризует колебательные свойства
системы. Переходная функция системы, у
которой показатель колебательности
больше единицы имеет вид Рис..
Такая переходная функция всегда имеет перерегулирование. Оно оценивается выражением:
Таким образом, между перерегулированием и показателем колебательности существует соответствие. Такое соответствие оценивается следующими соотношениями:
М=1.1-1.2 -
М=1.3-1.5
30-40%
М=1.7-2 50%-55%
Связь показателя колебательности с частотными характеристиками разомкнутой системы.
Выявление такой связи представляет интерес при проектировании системы.
Выполним следующие построения:
-изобразим АЧХ замкнутой системы;
-проведем семейство
прямых параллельных оси частот с уровнями
M
.
Используем следующий методический прием. Будем рассматривать данные прямые в качестве характеристик некоторых гипотетических замкнутых систем, имеющих бесконечную полосу пропускания и нулевой сдвиг по фазе Рис..
Построим, АФЧХ таких гипотетических систем в разомкнутом состоянии, рассматривая их как следящие системы.
Для этого используем формулу связи частотных характеристик разомкнутой и замкнутой следящей системы:
Для замкнутой системы с постоянным значением модуля и нулевым сдвигом по фазе справедливо выражение:
М=
=
где
U и V являются функциями частоты.
Данная зависимость
между функциями U
и
преобразуется к виду:
Вводя обозначения:
С=
; R =
Получаем уравнение связи функций U и V в виде смещенной окружности:
Параметр смещения окружности и величина ее радиуса зависит от значения варьируемой постоянной М, Рис..
В координатах АФЧХ разомкнутой системы, данная окружность разделяет две области возможных значений, соответствующих на графике АЧХ замкнутой системы областям лежащим выше прямой М и ниже ее. Внешняя область от окружности соответствует значениям меньшим М ,а внутренняя область значениям большим М
С уменьшением М внутренняя область расширяется и величина смещения центра растет. В пределе, при М=1, окружность вырождается в прямую линию, параллельную мнимой оси.
Пусть некоторый уровень М , равен максимальному значения АЧХ замкнутой реальной системы (ее показатель колебательности). Тогда соответствующая окружность в координатах АФЧХ разомкнутой системы, будет иметь только одну общую точку с АФЧХ реальной системы. Если АЧХ реальной системы зайдет во внутреннюю область рассматриваемой окружности, то ей будет соответствовать больший показатель колебательности (окружность с меньшим радиусом).
Следовательно, если показатель колебательности задан, то АФЧХ проектируемой разомкнутой системы не должна заходить внутрь области, ограниченной данной окружностью.
Желаемое положение АФЧХ разомкнутой следящей системы определяется условием касания с окружностью для заданного показателя колебательности.
Таким образом, показатель колебательности М однозначно определяет запретную для АФЧХ разомкнутой системы область в окрестности критической точки (-1,j0), характеризуя ее запас устойчивости.
Границы полученной запретной области для АФЧХ, определяемые заданным показателем колебательности, можно отобразить в границы для ЛАХ и ФЧХ разомкнутой системы.
Отобразим нижнюю
часть окружности в соответствующие
граничные кривые для АЧХ и ФЧХ. Рассматривая
движение изображающей точки по окружности
(Рис.) от значения
,
соответствующего модулю радиуса-вектора
и аргументу равному
-180 градусов, до частоты
,дающей
значение модуля равное
С - R =
При изменении частоты получаем две (связанные между собой) границы запретных значений для ЛАХ и ФЧХ разомкнутой системы в координатах логарифмических характеристик (Рис.)
Задаваясь значениями
частоты, определяем
и
.
Граница запретной области пересекается с окружностью единичного радиуса в вблизи частоты среза разомкнутой следящей системы. Это указывает на то, что запретная область для модуля и фазы в координатах разомкнутой системы наиболее близко подходит к ней в области средних частот ( окрестность частоты среза разомкнутой системы).
Следовательно, вид и параметры ЛЧХ разомкнутой системы в области средних частот (окрестность частоты среза) непосредственно связаны с заданным показателем колебательности.
Располагая границей запретной области в этом диапазоне частот, можно определить параметры желаемой характеристики разомкнутой системы в этом диапазоне частот.
Рассмотрим решение такой задачи с использованием асимптотических ЛАХ разомкнутой системы.
Граница запретной области для ЛАХ в области частоты среза апроксимируется асимптотой с наклоном -1.
В зависимости от наклонов асимптот желаемой ЛАХ разомкнутой системы слева и справа от диапазона средних частот запретной области параметры границы данной асимптоты и ее положение может быть различными.
Так, если ближайшие асимптоты(слева и справа) имеют одинаковые наклоны -2,то наиболее точная апроксимация запретной области обеспечивается при расположении частоты среза желаемой ЛАХ посередине единичной асимптоты. Тогда, параметры желаемой ЛАХ разомкнутой системы ,в области средних частот, можно оценить соотношением:
h =
;
где
h- диапазон частот единичной асимптоты в окрестности частоты среза.
lg h- значение этого диапазона частот в долях декады.
В том случае, если ближайшая слева асимптота имеет наклон -3,а ближайшая справа -2, (условно-устойчивая система)то частота среза желаемой ЛАХ располагается несимметрично, а длина участка с наклоном -1,определяется соотношением:
h =
.
При этом, низкочастотная
граница асимптоты с наклоном -1 расположена
относительно частоты среза на расстоянии
(в долях декады)
от частоты среза.
Получены соотношения, используемые при расчете параметров желаемой ЛАХ разомкнутой системы по требованию к показателю колебательности.