Раздел 2. Анализ динамических свойств линейной стационарной системы Лекция 2.1.Устойчивость движения системы

Понятие устойчивости имеет широкий смысл и распространяется в общем случае на любые системы, а не только на системы управления. Впервые это понятие использовано в механике при оценке устойчивости положения (равновесия) и устойчивости движения.

Устойчивость есть категория, относящаяся к движению системы, определяемому внутренними свойствами системы и ненулевыми начальными условиями (начальными возмущениями), а не внешними воздействиями. Именно поэтому, устойчивость распространяется как на управляемые, так и неуправляемые процессы. Например, к неуправляемым процессам можно отнести процессы небесной механики.

Устойчивость связана с понятиями: невозмущенное движение, возмущенное движение. Невозмущенное движение – движение при отсутствии возмущений.

В теории автоматического управления понятие устойчивость рассматривается в отношении невозмущенного движения системы.

Невозмущенное движение считается устойчивым, если в результате возникновения возмущения и последующего снятия его, возмущенное движение, по истечении некоторого промежутка времени, оказывается в заданной области невозмущенного движения ( рис.)

Устойчивость линейной стационарной системы

Устойчивость движения линейной стационарной системы управления оценивается по характеру развития собственного (свободного от воздействий) движения системы, инициированного ненулевыми начальными условиями (часто их называют - начальными возмущениями). Если система линейна, то данное движения не зависит от величины начальных отклонений переменных (в отличие от нелинейной системы) и поэтому понятие "устойчивость движения" можно заменить равноценным понятием "устойчивость системы".

Движение линейной стационарной системы полностью описывается дифференциальным уравнением, решение которого содержит две составляющие: общее решение однородного уравнения и решение, определяемое правой частью уравнения при нулевых начальных условиях. Таким образом, именно общее решение определяет движение системы, порожденное ненулевыми начальными условиями (свободное движение) и, следовательно, определяет устойчивость системы. Вторая составляющая полного решения уравнения определяет вынужденное движение системы.

При оценке устойчивости линейной системы используют понятия: асимптотически устойчивая система, неустойчивая система, нейтрально-устойчивая система (на границе устойчивости), нейтральная система (устойчивая не асимптотически).

Рассмотрим эти понятия.

Система называется асимптотически устойчивой, если свободное движение со временем полностью прекращается (затухает).

Если сводное движение неограниченно развивается (либо монотонное изменение переменных, либо возрастание их амплитуды при колебательном процессе), то такая система неустойчива.

Система называется нейтрально-устойчивой, если свободное движение представляет незатухающие колебания с постоянной амплитудой. Заметим, что такое состояние в реальной линейной системе длительно существовать не может. Малейшие изменения параметров делают систему либо устойчивой, либо неустойчивой.

В случае нейтральной системы уравнение точно определяет затухание производной (производных)выходной переменной, а изменение самих переменных определяется начальными условиями ( система с нулевыми полюсами в передаточной функции).

В том случае, если ПФ не вырождена (не сокращены нули и полюса), об устойчивости системы можно судить по характеру изменения весовой и переходной функций.