III. Алгебраические структуры

4. Подалгебра. Теорема о непустом пересечении подалгебр.

Подалгебра.

Опр. Подмножество 𝑋⊂𝑀 называется замкнутым относительно операции ϕ, если (∀𝑥₁,𝑥₂,…,𝑥_𝑛 )[𝜑(𝑥₁,𝑥₂,…,𝑥_𝑛 )∈𝑋].

Если X - замкнуто относительно всех 𝜑∈Σ, то ‹𝑋;Σ_𝑋› - называют подалгеброй алгебры ‹𝑀;Σ› , где Σ_𝑋 = {𝜑^𝑘_i}, 𝜑^𝑘_i =𝜑_𝑖|_𝑋, 𝑘=𝑛_𝑖.

Примеры:

- ‹𝑅;+,⋅› - поле действительных чисел, тип (2,2). Все конечные подмножества, кроме {0}, не замкнуты относительно операций.

‹𝑄;+,⋅› - поле рациональных чисел – подалгебра алгебры ‹𝑅;+,⋅›.

- ‹2^𝑀;∪,∩,′› - алгебра подмножеств множества 𝑀. Тип (2,2,1).

‹2^𝑋;∪,∩,′›, где 𝑋⊂𝑀, - подалгебра.

- ‹{𝑓| 𝑓: 𝑅⟶𝑅}; › - множество элементарных функций образуют подалгебру.

Теорема о непустом пересечении подалгебр.

Теорема: Непустое пересечение подалгебр одной алгебры образует подалгебру той же алгебры.

Док-во: Пусть ‹𝑋_𝑖,Σ_𝑋𝑖›, 𝑖 ∈ 𝐼 – подалгебры алгебры ‹𝑀,Σ›.

Тогда (∀𝑖,𝑗) 𝜑_j^𝑋𝑖 (𝑥1,…,𝑥_𝑛𝑗 )∈𝑋_𝑗⇒ (∀𝑗) 𝜑_j^𝑋𝑖(𝑥₁,…,𝑥_𝑛𝑗)∈ ∩_i∈I𝑋_𝑖

III. Алгебраические структуры

10. Теорема об однозначности решения в группе уравнения a x=b.

Теорема. В группе можно однозначно решить уравнение 𝑎∘𝑥=𝑏.

Док-во.

𝑎 ∘ 𝑥 = 𝑏 ⇒ 𝑎⁻¹∘ (𝑎 ∘ 𝑥) = 𝑎⁻¹∘ 𝑏 ⇒ 𝑥 = 𝑎⁻¹∘ 𝑏

III. Алгебраические структуры

16. Поле. Примеры. Теорема о соотношениях в поле.

Поле.

О пр. Поле – это алгебра ‹𝑀;+,⋅› с двумя бинарными операциями такими, что

Примеры.

‹ℝ;+,⋅› - поле вещественных чисел

‹ℚ;+,⋅› - поле рациональных чисел

E2={0,1}

‹E2;⨁,⋅› - поле двоичной арифметики.

Теорема о соотношениях в поле.

Теорема. В поле выполняются следующие соотношения:

1. (−𝑎) = 𝑎⨂(−1)

2.−(𝑎⨁𝑏) = (−𝑎)⨁(−𝑏)

3. 𝑎 ≠ 0 ⟶ (𝑎⁻¹)⁻¹ = 𝑎

4. 𝑎⨂𝑏 = 0 ⟶ 𝑎 = 0∨𝑏 = 0

Док-во.

𝑎 ⨂ (−1) ⨁ 𝑎=(𝑎 ⨂ (−1)) ⨁ (𝑎 ⨂ 1)=𝑎 ⨂ ((−1) ⨁ 1) = 𝑎 ⨂ 0 = 0

1. (𝑎⨁𝑏) ⨁ (−𝑎) ⨁ (−𝑏) = (𝑎⨁𝑏) ⨁ ((−𝑏)⨁(−𝑎)) = 𝑎⨁(𝑏⨁(−𝑏))⨁(−𝑎) =

= 𝑎⨁0⨁(−𝑎) = 𝑎 ⨁ (−𝑎) = 0

2. 𝑎⁻¹ ⨂ 𝑎 = 1

3. 𝑎⨂𝑏 = 0&𝑎 ≠ 0 ⟹ 𝑏=1⊗𝑏 = (𝑎⁻¹⊗𝑎)⨂𝑏 = 𝑎⁻¹⨂(𝑎⨂𝑏) =𝑎⁻¹ ⨂ 0 = 0

4. 𝑎⨂𝑏 = 0&𝑏 ≠ 0 ⟹ 𝑎=1⊗𝑎=(𝑏⁻¹⊗𝑏)⨂𝑎 = 𝑏⁻¹⨂(𝑏⨂𝑎) = 𝑏⁻¹(𝑎⨂𝑏) = 𝑏⁻¹ ⨂ 0 = 0

IV. Булевы функции.

2. Существенная и несущественная переменные. Теорема о числе булевых функций, зависящих от n переменных.

Существенная и несущественная переменные.

По определению булевы функции равны, если одна из другой получается введением (или удалением) несуществующих переменных.

Пример.

Р ассмотрим функцию, заданную таблично

Теорема о числе булевых функций, зависящих от n переменных.

Теорема : Существует различных булевых функций от n

аргументов.

Док-во. Каждая булева функция определяется своим столбцом значений. Столбец является булевым вектором длины m=2ⁿ, где n – число аргументов функции. Число различных векторов длины m (а значит и число булевых функций, зависящих от n переменных) равно 2^m=2²ⁿ