Критерий устойчивости Рауса.

Первый критерий устойчивости был предложен Раусом в виде неравенств, составленных по осо­бым правилам (алгоритму) из коэффициентов характеристическо­го уравнения А(р) =0 замкнутой системы, которое в общем случае, пишется в виде:

Наиболее просто пользоваться этим критерием устойчивости, прибегая к помощи таблицы 1.2. В первой строке таблицы 1.2 по столб­цам последовательно выписываются через один все коэффициенты характеристического уравнения начиная с коэффициента при чле­не а_п.

Во второй строке по столбцам последовательно выписываются все остальные коэффициенты. Индексы при величинах с_ki, вычис­ляемых и вписываемых в третью и последующие строки таблицы, означают соответственно номера столбца и строки. Значения вели­чин λi и с_ki, определяются последовательно путем заполнения строк сверху вниз и слева направо по алгоритму Рауса, понятному из таблицы 1.2

Таблица 1.2 Таблица Рауса

№ строки	Значения	№ столбца
		1	2	3	4
1	-	ап	ап-2	ап-4	………
2	-	ап-1	ап-3	ап-5	……………
3					……………
4					…………..
5					………….
……	………..	…………	…………………	…………………..	…………….
i					…………
………	…………	……………….	…………………..	…………….	…………
			0	0	0

Примечание: Рассмотрим в общем виде условия устойчивости различных систем с помощью критерия Рауса.

а) Система первого порядка. Характеристическое урав­нение системы . В этом случае в таблице 1.2 заполняются только первая и вторая строки первого столбца.

Таким образом, для устойчивости линейной системы первого-порядка необходимо и достаточно, чтобы все коэффициенты харак­теристического уравнения были положительными: а₁>0, а₀>0.

б) Система второго порядка. Характеристическое урав­нение системы .

В этом случае заполняются три строки таблицы 1.2. Условия ус­тойчивости имеют вид а_п=а₂>0; а_п-1= а₁>0; >0. Так как п=2<3, то а_п-3 = 0 и, следовательно, >0.

Таким образом, для устойчивости линейной системы второго по­рядка необходимо и достаточно, чтобы все коэффициенты характе­ристического уравнения были положительными: а₂>0, а₁>0, а₀>0.

в) Система третьего порядка. Характеристическое урав­нение системы . При составлении таблицы 1.2 по-алгоритму Рауса заполняются четыре строки. Условия устойчиво­сти имеют вид

а₃>0; а₂>0, a_l - (a₃/a₂)a₀>0; >0.

Таким образом, для устойчивости линейной системы третьего' порядка необходимо и достаточно, чтобы все коэффициенты харак­теристического уравнения были положительными и, кроме того, чтобы произведение средних коэффициентов уравнения было боль­ше произведения его крайних коэффициентов: а₃>0; а₂>0, а₁>0, а₀>0,

Следовательно, для устойчивости системы третьего порядка не­достаточно одного только условия, чтобы все коэффициенты ха­рактеристического уравнения были положительными. Это условие необходимое, но не достаточное.

Для обеспечения устойчивости системы накладывается дополни­тельное ограничение на относительные значения коэффициентов ха­рактеристического уравнения, определяемое неравенством.

г) Система четвертого порядка. Характеристическое уравнение системы . При исследова­нии этой системы на устойчивость в таблицы 1.2 по алгоритму Рауса заполняются пять строк. Условия устойчивости имеют вид

Подставив C₁₃ в выражение для C₁₄, учитывая что C₂₃=а₀, и решив неравенство C₁₄>0, получим

Таким образом, условия устойчивости для системы четвертого порядка имеют вид

Следовательно, для устойчивости системы четвертого порядка необходимо и достаточно, чтобы все коэффициенты характеристи­ческого уравнения были положительными и, кроме того, чтобы их значения удовлетворяли неравенству.

Приклад для розв’язання задачі №1 Визначити стійкість АСР по критерію стійкості Рауса, зробити висновки.

Характеристическое уравнение замкнутой АСР имеет вид:

.

Дано:

Составляем таблицу Рауса:

Таблица 1.2 Таблица Рауса

№ строки	Значения	№ столбца
		1	2	3	4
1	-	1	8	3	0
2	-	2	4	0	0
3				0	0
4				0	0

Вывод: система по критерию Рауса является устойчивой так как все коэффициенты характеристи­ческого уравнения являются положительными и, кроме того, чтобы их значения удовлетворяли неравенству.