6. Компланар векторлардың анықтамасы. Үш вектордың компланар болу белгісі. (дәлелдеумен)

Бір жазықтықта н/е параллель жазықтықта жататын векторлар КОМПЛАНАР д.a, теорема: 3 вектордан тұратын жүйе сызықты тәуелді болу үшін олардың компланар болуы қажетті және жеткілікті (1-ші компланар белгісі)a,b,c компланар сода және сонда ғана Э α,β:c=αa+βb Д/у:қажеттілік a,b,c компланар 3-еуін бір нүктеге алып келу .a→b→c→,a,b,c 1 нүктеге алып келген соң 1 жазықтықта жатқаннан компланар болады,OA=αa,OB=βb;

OC=OA+OB=αa+βb, дәлелденді.

7.Вектордың скаляр проекциясы және оның қасиеттері. (дәлелдеумен)

Анықтама. векторының l осіне түсірілген проекциясы немесе скалярлық проекциясы деп сол векторының оң немесе теріс таңбасымен алынған векторлық проекцияның ұзындығына тең скалярды (санды) атайды: ол сан векторы l осімен бағыттас болғанда, оң таңбамен ал қарама-қарсы бағытта болғанда теріс таңбамен алынады және былай Пр_l белгіленеді.

(2)

(1)

Анықтама бойынша Пр_l = = (1-сурет),

Пр_l = = (2-сурет). Яғни Пр_l =

Қасиеттері:

1. Пр_l =

2. Пр_l( + ) = Пр_l + Пр_l

8. Вектордың векторлық проекциясы және оның қаситеттері.

Вектордың проекциясы келесі қасиеттерге ие:

1) Пр_b(a₁+ a₂) =Пр_ba₁+ Пр_ba₂(қосындының проекциясы

проекциялардың қосындысына тең);

2)Пр_b(λa) =λПр_ba (векторды санға көбейтіндісінің

Проекциясы вектордың проекциясын осы санға көбейткенге тең).

Анықтама. векторының l осіне түсірілген векторлық проекциясы деп

векторын атайды.Мұндағы А₁ нүктесі векторының l осіне түсірілген бастапқы А нүктесінің проекциясы, ал В₁нүктесі оның В нүктесінің проекциясы және былай

белгілейді.

9. Екі вектордың скаляр көбейтіндісі және оның қасиеттері

Екі вектордың ұзындықтарының көбейтіндісін

олардың арасындағы бұрыштың косинусына көбейткенде пайда

болған шаманы олардың скаляр көбейтіндісідеп атаймыз. a жəне b

векторларының скаляр көбейтіндісін

(a, b )[немесе a* b; немесе ab] арқылы белгілейді. Егер 𝝋– a жəне b векторларының арасындағы бұрыш болса, онда

(a, b ) =| a|*|b| *cos𝝋

Скаляр көбейтінді келесі қасиеттерге ие:

1) (a,b ) = (b,a)(коммутативтілік).

2) (a,a) = |a |² (вектордың скаляр квадраты оның ұзындығының

квадратына тең)

3) Скаляр көбейтінді нөлге тең сонда тек сонда ғана, егер

көбейткіштерортогоналнемесеолардыңеңбомағандабірі

нөлдік вектор болғанда.

4) (a, b) = |b|Пр_ba= |a|Пр_ab

5) (a+b,c)= (c,a)+(c,b)

6) (λa, b ) = λ(a, b )

№5 қасиетті дәлелдеу: (a+b,c)=(a+b)*(c)*cos(a+b,^c)=|c|*Пр_c(a+b)=|c|*(Пр_сa+Пр_св)=|c|*|a|*cos (a,^c)+|c|*|b|*cos(c,^b)=(c,a)+(c,b).

11. Векторлардың векторлық көбейтіндісі және оның геометриялық мағынасы.Егер а, b, с оң қолдың баспармақ , сұқ саусақ, ортаңғы саусақ тарға сәйкес орналасса, онда а, b, c үштігін оң деп атаймыз, кез келген 3 вектордан 6 үштік құрауға болады:

Егер үштікте 2 вектордың орнын ауыстырса, үштік атын өзгертеді,

a, b, c; a, c, b; …..

Анықтама. а және в векторының векторлық көбейтіндісі деп келесі шартты қанағаттандыратын с векторын айтамыз:

1) а, в, с-оң үштік

2)а перпендук с, в перпендукляр с

3)|с|=|[a,b]|=|a||b|sin(a,b) c=[a,b]

a,bвекторларының векторлық көбейтіндісініңқасиеттері:

1)кез келген a,b [a,b]=-[b,a]

2 кез келген a,bкез келген α€IR [αa,b]=α[a,b]

3)[λa,b]=[a,λb]=λ[a,b]

4)[a,a]=0≠a²

Теоремасы : а={x1, y1, z1} b={x2, y2, z2}

Декарт координаттар жүйесінде а мен б-ның векторлық көбейтіндісі келесі формула бойынша есептеледі:

[a,b]=

Геометриялық мағынасы – сол вектордан құралған паралелограмның ауданына тең. S=|a||b|sin(a,b)=|[a,b]|

Теорема:Ө емес а, б вектор-ң векторлық көбейтіндісі 0-ге тең болады, сонда және сонда ғана егерде олар коллинеар. Коллениар векторлар арасындағы бұрыш 0 градусқа неемесе 180 градусқа тең.

[ ]=Ө => – коллениар

Д/У: [ ]=Ө => |[ ,b]|=|a||b|sin(a,b) =0

1. =Ө немесе =Ө нөлдік вектор кез келген векторға коллениар.

2. sin(a,b) =0=> (a^b)= π немесе(a^b)=0 векторлар параллел онда олар коллениар.