5.2. Решение матричных игр симплексным методом

Пусть игра m× n задана платежной матрицей

.

Игрок A применяет стратегии A₁, A₂ ,..., A_m , а игрок B – стратегии B₁,B₂ ,..., B_n.

Будем считать, что данная игра не имеет решения непосредственно в чистых стратегиях (нет седловой точки), и, значит, оптимальное решение необходимо искать в области смешанной стратегии.

Смешанными стратегиями игроков A и B называют векторы P = (p₁, p₂,…, p_m) и Q = (q₁, q₂,..., q_n) , координаты которых равны вероятностям применения игроками своих чистых стратегий A₁, A₂ ,..., A_m и B₁, B₂,...,B_n соответственно.

События, состоящие в том, что игроки применяют какую-либо из своих чистых стратегий, образуют для каждого игрока полную группу событий. Следовательно, сумма координат векторов P и Q равна единице:

p₁ + p₂ + … + p_m = 1,

q₁ + q₂ + … + q_n = 1.

Кроме того, по свойству вероятности, для координат смешанных стратегий выполняются неравенства:

i=1,…, m,

j=1,…, n.

Оптимальная стратегия P^* обеспечивает игроку A средний выигрыш, не меньший цены игры ν, при любой стратегии игрока B и выигрыш, равный цене игры ν, при оптимальной стратегии Q^* игрока B.

Без ограничения общности полагаем далее, что ν > 0. Применяя оптимальную стратегию P^* против любой чистой стратегии Q_j игрока B, игрок A получает средний выигрыш или математическое ожидание выигрыша

a_j = a_1j p₁ + a_2j p₂ + ... + a_mj p_m ≥ ν.

Таким образом, вычисляя средние выигрыши игрока A для каждой из чистых стратегий игрока B, получаем систему неравенств

.

Разделив каждое из неравенств на цену игры ν и вводя новые переменные

, ,…, ,

получим систему

.

Целевую функцию для игрока A найдем, учитывая, что он стремится получить максимальный выигрыш в игре. Разделив равенство

p₁ + p₂ + … + p_m = 1

на цену игры ν, получим

,

которое будет иметь наименьшее значение при достижении игроком A максимального выигрыша. Поэтому в качестве целевой функции можно взять функцию

F(X) = x₁ + x₂ + ... + x_m

и задачу линейного программирования сформулировать следующим образом: определить значения переменных x_i ≥ 0, i =1,…, m, так, чтобы они удовлетворяли линейным ограничениям

(5.1)

и при этом целевая функция F(X) = x₁ + x₂ + ... + x_m имела минимальное значение.

Решая данную задачу, получаем оптимальную стратегию задачи линейного программирования для которой значение целевой функции равно

F(X^*) = min F(X).

Находим цену игры ν:

.

Вычисляем координаты смешанной оптимальной стратегии P^* игрока A:

p_i = νx_i , i =1,…, m.

Чтобы найти оптимальную стратегию игрока B , составляем двойственную к рассмотренной задачу и решаем ее. Двойственная задача, т.е. задача игрока В имеет ограничения

(5.2)

и целевую функцию Z(Y) = y₁ + y₂ +…+ y_n → max.

Решая эту задачу получаем оптимальную стратегию и вычисляем координаты оптимальной смешанной стратегии Q^* игрока B:

q_i = νy_j , j =1,…,n.

В ходе решения двойственной задачи определяется максимальное значение целевой функции Z(Y^*) = max Z(Y) , и цена игры может быть определена из равенства

.

Таким образом, найдено оптимальное решение для игры.

Поскольку задачи (5.1) и (5.2) образуют пару двойственных задач, нет необходимости решать обе задачи.

Пример 3. Торговая фирма разработала несколько вариантов плана продажи товаров на предстоящей ярмарке с учетом меняющейся конъюнктуры рынка и спроса покупателей. Получающиеся от возможных сочетаний показатели дохода представлены следующей платежной матрицей

.

Определить оптимальный план продажи товаров.

Решение. Торговая фирма может применить три стратегии продаж П₁, П₂, П₃, а конъюнктура рынка и спрос покупателей – стратегии К₁, К₂, К₃. Обозначим вероятность применения торговой фирмой стратегий П₁, П₂, П₃ как р₁, р₂, р₃, вероятность использования стратегий К₁, К₂, К₃ как q₁, q₂, q₃.

Для первого игрока (торговой фирмы) математическая модель задачи имеет вид:

где .

Для второго игрока (конъюнктуры рынка и спроса покупателей) математическая модель задачи имеет вид:

,

y_j≥ 0, j = 1, 2, 3,

где .

Решая задачу для второго игрока симплекс-методом, получаем:

, .

Цена игры .

Так как , то , , .

Оптимальная стратегия второго игрока .

Стратегию первого игрока найдем, используя метод соответствия переменных исходной и двойственной задачи. Получаем

.

Таким образом, торговая фирма на ярмарке должна придерживаться стратегии , при этом она получит доход не менее денежных единиц.