10. Інтегруючий множник

В деяких випадках рівняння виду не є рівнянням в повних диференціалах, але існує функція така, що рівняння , то рівняння буде рівнянням в повних диференціалах та достатньо умов цього є рівність; необхідно і достатньо

Таким чином замість звичайного диференціального рівняння відносно функції у(х) одержимо диференціальне рівняння в частинних похідних відносно функції . Задача інтегрування його значно спрощується, якщо відомо в якому шукати функцію відома функція.

В цьому випадку одержимо після підстановки в рівняння одержимо

Проінтегрувавши ліву і праву частину отримаємо

11. Частинні випадки інтегруючих множників

Розглянемо частинні випадки

1. Нехай , тоді , звідси і функція матиме вигляд . 2) Нехай , тоді , звідси і функція матиме

вигляд .

2. Нехай , тоді , звідси і функція матиме

вигляд .

3. Нехай , тоді , звідси і функція матиме

вигляд .

12. Частинні випадки рівнянь, що інтегруються в квадратурах F(у´)=0

Нехай диференціальне рівняння першого порядку, не розв’язане відносно похідної, має вигляд . Розглянемо випадок, що інтегрується в квадратурах

Рівняння виду . Нехай алгебраїчне рівняння має по крайній мірі один дійсний корінь . Тоді інтегруючи , одержимо , звідси і вираз , містить всі розв’язки диференціального рівняння.

13. Частинні випадки рівнянь, що інтегруються в квадратурах F(х,у´)=0.

Нехай диференціальне рівняння першого порядку, не розв’язане відносно похідної, має вигляд . Розглянемо випадок, що інтегрується в квадратурах

Рівняння виду . Нехай це рівняння можна записати у параметричній формі , використовуючи співвідношення , одержимо . Проінтегрувавши запишемо . І загальний розв’язок в параметричній формі має вигляд .

14. Частинні випадки рівнянь, що інтегруються в квадратурах F(у,у´)=0

Нехай диференціальне рівняння першого порядку, не розв’язане відносно похідної, має вигляд . Розглянемо випадок, що інтегрується в квадратурах

Рівняння виду . Нехай це рівняння можна записати у параметричній формі ,

15. Рівняння Лагранжа

Рівнянням Лагранджа називають рівняння виду ,

, тоді рівняння матиме вигляд . Продефернціюємо дане рівняння . Замінивши dy=pdx, отримаємо . Звівши ці рівняння, отримаємо . Отже, ми отримали лінійне неоднорідне диференціальне рівняння:

Його розв’язком є рівняння

Остаточним розв’язком рівняння Лагранджа в параметричній формі записують у вигляді

16. Рівняння Клеро

Частинним випадком рівняння Лагранджа , що відповідає є рівняння Клеро . Поклавши , отримаємо

Продиференціювавши дане рівняння отримаємо , оскільки , підставляємо в рівняння, отримаємо , отримаємо .

Можливі два випадки

1. 2)

Загальним розв’язком рівняння Клеро буде сімя прямих і цю сімю огинає особлива крива та .