5. Рівняння, що зводяться до однорідних

Нехай маємо рівняння виду

Розглянемо два випадки:

1. , ,

Тоді система алгебраїчних рівнянь

,

Має єдиний розв’язок (х₀,у₀).

Проведемо заміну

х=х₁+х₀

у=у₁+у₀, та отримаємо

.

Оскільки (х₀,у₀) є розв’язком системи алгебраїчних рівнянь, то диференціальне рівняння матиме вигляд:

І є однорідним нульового степеня.

Отже, робимо заміну у₁=ux₁ dy₁=udx₁+x₁du

Ділимо на dx₁

Домножимо на dx_1, отримаємо

Об’єднуємо dx з x, du з u, отримаємо

Шукаємо інтеграл

Загальний інтеграл диференціального рівняння матиме вигляд:

2. , тобто коефіцієнти лінійно залежні і

Робимо заміну

dz=a₂ dx₁+b₂dy

Підставимо диференціальне рівняння (1) і одержимо

, а це те саме , що

Звідси,

Загальний інтеграл диференціального рівняння матиме вигляд:

6. Лінійні диференціальні рівняння першого порядку

Рівняння

y’+p(x)⋅y=q(x),

в якому невідома функція y і її похідна y′ входять до рівняння у першому

степеню і не множаться між собою, p(x) і q(x) – неперервні на деякому проміжку функції, називається лінійним диференціальним

рівнянням першого порядку.

Розв'язок y(x) цього рівняння шукають у вигляді добутку двох невідомих

функцій u(x) і v(x), тобто

y=u⋅v.

Тоді похідна функції приймає вигляд

y′ =u′v+v′u.

Значення y(x) і y′ підставляють у рівняння y’+p(x)⋅y=q(x) і отримують вираз:

u′v + uv′+p(x)uv=q(x)

або u′v+u[v′+p(x)v]=q(x).

Функцію v визначають із умови, що вираз в дужках дорівнює нулю, тобто розв'язують рівняння, яке буде завжди з відокремлюваними змінними:

Потім значення v підставляють у рівняння u′v = q(x) і з отриманого диференціального рівняння теж з відокремлюваними змінними знаходять загальний розв'язок u=u(x,C). Значення v і u підставляють у рівність y=u⋅v і визначають загаль-

ний розв'язок лінійного диференціального рівняння.

7. Рівняння Бернуллі

Рівняння виду , де називається рівнянням Бернуллі.

Розділимо рівняння на у^m, то одержимо

Зробимо заміну

Підставимо заміну в рівняння

8. Рівняння Рікатті

Рівняння виду називають рівнянням Рікатті.

В загальному випадку рівняння Рікатті не інтегрується, відомо лише деякі частинні випадки рівняння рікатті, що інтегруються в квадратурах, розглянемо один із даних випадків.

Нехай відомий один частинний розвязок , робимо заміну

Оскільки - частинний розв’язок, то

Розкривши дужки і використовуючи вказану тотожність, одержимо

Перепишемо це рівняння наступним чином:

Отже ми отримали рівняння Бернуллі.

9. Рівняння в повних диференціалах

Рівняння виду називається рівнянням в повних диференціалах, якщо його ліва частина є повним диференціалом деякої функції U(x,y), тобто . В цьому випадку загальний інтеграл рівняння 1 матиме вигляд U(x,y)=С, С – довільна стала. Для того, щоб рівняння 1 було рівнянням в повних диференціалах, необхідно і достатньо щоб .

Розглянемо, яким чином відбудеться інтегрування рівнянь в повних диференціалах, якщо для рівняння (1) виконується умова (2), то неві дома функція U(x,y) задовольняє рішення .

Інтегруючи рівність (3) по х визначимо функцію U(x,y) з точністю до довільної диф. функція , тобто . Диференціюючи рівність (5) по у і враховуючи рівність (4), отримаємо рівняння для знаходження функції : .