1.Загальні поняття та означення диференціальних рівнянь першого порядку

Дифенціальними рівняннями першого порядку називають рівняння виду (1), яке зв’язує незалежну змінну х, невідому функцію та її похідну .

Рівняння (1) може не містити х або у, але обов’язково має містити похідну .

Диференціальне рівняння (1), яке не розв’язане відносно похідної називають неявним диференціальним рівнянням. Якщо (1) можна розв’язати відносно похідної , то його записують у вигляді (2) і називають рівнянням першого порядку, розв’язаним відносно похідної або рівнянням в нормальній формі. Рівняння (2) можна ще записати так або . Помноживши останнє на деяку функцію отримаємо рівняння першого порядку в дифенціальній формі (3).

Рівняння (3) має рівноправні х та у, тому кожну із них можна розглядати як функцію іншої.

Прилади диференціальних рівнянь:

І -

ІІ -

ІІІ -

Знаходження невідомої функції, що входить в диференціальні рівняння називають розв’язанням або інтегруванням цього рівняння.

Розв’язком диференціального рівняння (2) на деякому інтервалі називається диференційована на цьому інтервалі функція , яка при підстановці в рівняння (3) обертає його в тотожність по х на , тобто .

Наприклад, функція є розв’язком рівняння .

2.Теорема Коші

Графік розв’язку диференціального рівняння називається інтегральною кривою цього рівняння. Рівняння (2) має розв’язок за таких умов:

Теорема Коші(про існування і єдність розвязку)

Нехай функція і її частинна похідна визначені і неперервні у відкритій області G площини і існує така точка з координатами , тоді існує єдиний розв’язок рівняння (2), який задовольняє умову при , тобто .

Ця теорема дає достатні умови існування єдиного розв’язку рівняння (2).

Геометрична теорема Коші стверджує, що через кожну точку проходить єдина інтегральна крива. Якщо зафіксувати і змінювати не виходячи при цьому з області G, то діставатимемо різні інтегральні криві.

Отже, ми побачили, що рівняння (2) має безліч розв’язків. Знаходження розв’язку рівняння , що проходить через задану точку з координатами називається розв’язком задачі Коші.

у

х

3. Рівняння, що зводяться до рівнянь зі змінними, що розділяються.

Розглянемо рівняння виду , де - довільні сталі.

Зробимо заміну і знайдемо похідну .

Звідси потрібно виділити .

Першу частину ділимо на :

і підставимо отримане рівняння в початкове:

.Звідси потрібно виділити

Із даного рівняння ми можемо знайти інтеграли, тобто , С – певна константа Загальний інтеграл матиме вигляд

4. Однорідні диференціальні рівняння. Загальні поняття.

Функція називається однорідною функцією n – го виміру відносно змінних у та х, якщо для довільного числа виконується тотожність .

Наприклад:

Дана функція є однорідною функцією другого виміру, тому що:

Дана функція є однорідною функцією нульового виміру, тому що:

Диференціальне рівняння (2) називається однорідним, якщо функція є однорідною функцією нульового виміру. Очевидно рівняння:

Буде однорідним тоді і тільки тоді, коли функції будуть однорідними функціями одного і того самого виміру.

Нехай рівняння має вигляд:

Нехай дані функції однорідні ступеня k , тобто:

Робимо заміну тоді .

Тепер підставляємо все це у наше рівняння:

Або це те саме, що

Скоротивши на і розкривши дужки, отримаємо

Згрупувавши одержане рівняння зі змінними, що розділяються:

Взявши інтеграли та замінивши отримаємо загальний інтеграл: