3. Основные законы механики

Теоретическая механика относится к числу так называемых аксиоматических наук. В ее основе лежит система исходных положений  – аксиом, принимаемых без доказательства, но проверенных не только прямыми экспериментами, но и многовековой практикой человечества. Справедливость следствий, логически вытекающих из этих основных положений, также подтверждается экспериментальными данными.

Аксиома 1

Существует система отсчёта, по отношению к которой материальная точка находится в покое или движется равномерно и прямолинейно, если на неё не действуют силы.

Такая система отсчёта называется инерциальной, иногда ее условно называют неподвижной.

Аксиома 2

В инерциальной системе отсчёта произведение массы материальной точки на вектор ее ускорения равно приложенной к точке силе:

Рис.1.2

Здесь – сила, действующая на материальную точку; – ее ускорение;  – масса материальной точки, которая, как видно, является мерой ее инертности.

В самом деле, одна и та же сила сообщает точкам тем большее по модулю ускорение, чем меньше их масса:

и следовательно, если то

.

Аксиома 3

Две материальные точки взаимодействуют с силами, равными по модулю и направленными по одной прямой в противоположные стороны (Рис.!.2).

Аксиома 4 (Принцип независимости действия сил.)

Если на материальную точку действует одновременно несколько сил, то ускорение точки складывается из ускорений, которые имела бы точка под действием каждой из этих сил в отдельности.

Пусть на точку с массой действуют силы каждая из которых сообщает точке ускорения Согласно второму закону Ньютона можно записать

На основании принципа независимости действия сил получаем:

или

Таким образом, движение материальной точки под действием системы сил будет таким же, как при действии одной силы – их равнодействующей, равной геометрической сумме всех сил.

Как видно, в основе механики лежит единственное количественное соотношение (второй закон Ньютона), связывающее причину изменения движения – силу со следствием – появлением у материальной точки ускорения. Прежде всего (в ближайших параграфах) мы рассмотрим способы вычисления этих величин и действия над ними.

4. Координатный способ задания движения точки

Движение точки по отношению к выбранной системе отсчёта считается заданным, если известен способ, при помощи которого можно определить положение точки в любой момент времени.

Рис.1.3

Положение точки в системе отсчёта полностью определяется её координатами. Если известна зависимость координат от времени, движение точки считается заданным. В зависимости от содержания решаемой задачи можно использовать любую систему координат (декартову, цилиндрическую, сферическую и т.д.), наиболее целесообразную для данной задачи. Мы, в основном, будем использовать прямоугольную декартову систему координат., в которой законы движения точки имеют вид:

(1.1)

где – время.

Вектор , проведённый из начала координат в точку , называется радиусом–вектором точки. Координаты точки одновременно являются проекциями радиуса–вектора на координатные оси (Рис.1.3):

(1.2)

где – единичные векторы (орты) координатных осей.

Задавая координаты точки, мы тем самым задаем ее радиус-вектор. Наоборот, если задан радиус-вектор, то раскладывая этот вектор по координатным осям, определяем координаты точки. Иногда говорят о векторном способе задания движения точки, предполагая при этом, что радиус-вектор задается как функция времени. Такой способ удобен для решения ряда теоретических вопросов, поскольку он компактен и не связан с выбором конкретной системы координат. Но при решении практических задач необходимо переходить к тому или иному координатному способу задания движения точки.

Непрерывная кривая, которую описывает точка при своем движении, называется траекторией точки.