Односторонние пределы

Определение

Односторонний предел — предел числовой функции, подразумевающий «приближение» к предельной точке с одной стороны. Такие пределы называют соответственно левым и правым пределами.

Левый и правый пределы функции

Определение

Число   называется правым пределом функции   в точке  , если для     такое, что для любого   и  , выполняется неравенство   (рис. 1). Правый предел обозначается 

Число   называется левым пределом функции   в точке  , если для     такое, что для любого   и  , выполняется неравенство   (рис. 2). Левый предел обозначается 

Левый и правый пределы функции называются односторонними пределами.

Теорема

Если существуют   и  , причем  , то существует и  . Обратное утверждение также верно.

В случае, если  , то предел   не существует.

Пример

Задание. Найти односторонние пределы функции   при 

Решение. Правый предел: 

Левый предел: 

Предел функции на бесконечности. Бесконечно большая функция

Рассмотрим функцию  , заданную на  .

Определение

Число   называется пределом функции   на бесконечности или при  , если для любого   существует число   такое, что для всех   из того, что  , выполняется неравенство  .

Бесконечно большая функция

Определение

Функция   называется бесконечно большой в точке  , если для любого   существует такое , что для любого  , удовлетворяющего неравенству  , выполняется неравенство:  . В этом случае пишут: 

Пример

Бесконечно большой функцией в точке 0 является функция 

Определение

Функция   называется бесконечно большой при  , если для любого   существует такое число   такое, что для всех   из области определения функции  , которые удовлетворяют неравенству  , выполняется неравенство  : 

Пример

Функция   является бесконечно большой функцией при  .

Свойства пределов функции

1°   Предел суммы/разности двух функций равен сумме/разности их пределов:

Пример

Задание. Вычислить предел 

Решение. Воспользуемся первым свойство, разложим функцию на несколько более простых и отдельно найдем их пределы.

Ответ. 

2°   Предел произведения двух функций равен произведению их пределов:

Пример

Задание. Вычислить предел 

Решение. Воспользуемся вторым свойство, разложим функцию на несколько более простых и отдельно найдем их пределы.

Ответ. 

3°   Предел частного двух функций равен частному их пределов, при условии, что предел знаменателя не равен нулю:

Пример

Задание. Вычислить предел 

Решение. Воспользуемся третьим свойство, сделаем числитель и знаменатель функции отдельными пределами и независимо найдем их.

Ответ. 

4°   Константу можно выносить за знак предела:

Пример

Задание. Вычислить предел 

Решение. Воспользуемся первым и четвертым свойствами, разложим функцию на несколько более простых и отдельно найдем их пределы.

Ответ. 

5°   Предел степени с натуральным показателем равен степени предела:

Пример

Задание. Вычислить предел 

Решение. Воспользуемся пятым свойством, внесем предел под третью степень. Сначала найдем предел более простой функции, а затем возведем его в третью степень.

Ответ. 

№8

Единственность предела функции

Как мы говорили с Вами в прошлой статье, единственность предела следует из определения предела функции по Гейне. Однако давайте сформулируем и докажем теорему о единственности предела.

Теорема о единственности предела

Формулировка:

Если функция   в точке   имеет предел, то этот предел единственный.

Доказательство:

Докажем методом от противного. Предположим, что  ,  ,  . Возьмём  , по определению и свойству окрестности найдётся такая проколотая   -окрестность точки   ( ), в которой одновременно будут выполнятся неравенства  ,   , тогда в точках этой же окрестности   Получили противоречие  . Отсюда, функция   в точке   имеет единственный предел.

2. Локальная ограниченность функции, имеющей предел

Теорема о локальной ограниченности функции, имеющей предел

Формулировка:

Если предел функции   при   равняется  , то найдётся окрестность точки  , во всех точках которой функция   ограничена.

Доказательство:

Из определения предела по Коши получим:     Возьмём  . Из условия теоремы следует существование окрестности  . Следовательно,  . Перепишем это следующим образом: . Легко видеть, что это и означает ограниченность функции  .

Предельный переход в неравенствах

Теорема

Пусть заданы две последовательности   и   . Если   и, начиная с некоторого номера,   , то выполняется неравенство: 

Теорема

(Принцип двустороннего ограничения, теорема о двух милиционерах, теорема сжатия, правило сэндвича, теорема о трех струнах).

Если   и существует номер   , что для любого   выполняется неравенство   , то последовательность   сходится, причем 

Пример

Задание. Найти предел последовательности 

Решение. С одной стороны   . С другой стороны:

То есть, имеем:   и из того, что   ,   , то по теореме про двустороннее ограничение и   :

№9