1. Логические символы

Квантор   - заменяет выражение "д«я любого",»"д«я произвольного",»"д«я какого бы ни было".»Квантор   - заменяет выражение "с«ществует",»"н«йдется".»Запись   (импликация) означает, что из справедливости высказывания A вытекает справедливость высказывания B. Если, кроме того, из справедливости высказывания B вытекает справедливость A, то записываем  . Если  , то высказывание B является необходимым и достаточным условием для того, чтобы выполнялось высказывание A.

Если предложения A и B справедливы одновременно, то записываем  . Если же справедливо хотя бы одно из предложений A или B, то записываем  .

2. Операции над множествами

Математическое понятие множества элементов принимается в качестве интуитивного. Множество задается правилом или признаком, согласно которому определяем, принадлежит ли данный элемент множеству или не принадлежит.

Множество обозначают символом A = {x}, где x - –бщее наименование элементов множества A. Часто множество записывают в виде A = {a, b, c, ...}, где в фигурных скобках указаны элементы множества A. Будем пользоваться обозначениями:

                  N - –ножество всех натуральных чисел;                   Z - –ножество всех целых чисел;                   Q - –ножество всех рациональных чисел;                   R - –ножество всех действительных чисел;                   C - –ножество всех комплексных чисел;                   Z₀ - –ножество всех неотрицательных целых чисел.

Запись   (или  ) означает, что элемент a принадлежит множеству A.

Запись   (или  ) означает, что элемент a не принадлежит множеству A.

№3

Понятие числовой последовательности Основные понятия и определения

Определение

Последовательностью называется функция, которая переводит множество натуральных чисел   в некоторое множество   : 

Элемент   называется первым членом последовательности,   - вторым, ... ,   -  -ым или общим членом последовательности.

Пример

Задание. Для последовательности   определить, чему равен третий член 

Решение. Третьим элементом последовательности будет элемент, идущий третьим по счету, то есть для заданной последовательности имеем, что 

Ответ. 

Задание последовательности формулой ее общего члена

Обычно последовательность целесообразнее задавать формулой ее общего члена, которая позволяет найти любой член последовательности, зная его номер.

Пример

Задание. Найти формулу общего члена последовательности 

Решение. Запишем каждый член последовательности в следующем виде:

Как видим, члены последовательности представляют собой произведение степени двойки, умноженной на последовательные нечетные числа, причем два возводится в степень, которая равна номеру рассматриваемого элемента.

Таким образом, делаем вывод, что

Ответ. Формула общего члена: 

Пример

Задание. Найти 15 член последовательности, заданной формулой  -го члена: 

Решение. Для того чтобы найти   , подставим в формулу общего члена значение   . Получим:

Ответ. 

Пример

Задание. Проверить, являются ли числа   и   членами последовательности

Решение. Число   является членом последовательности   , если существует такой номер   , что   :

Таким образом, число   является первым и пятым членами заданной последовательности.

Проверим теперь, является ли число   членом указанной последовательности   . Рассуждая аналогично, как и для   , получаем:

Таким образом, уравнение   не имеет решение в натуральных числах, а значит,  не является членом последовательности