Решение

Согласно методу зеркальных изображений расчетная схема имеет вид, представленный на рис. 12.13б. Напряженность электрического поля в любой точке верхней полуплоскости равна геометрической сумме векторов напряженности электрического поля от четырех зарядов: первого провода – второго провода – , их изображений – и , то есть

.

На рис. 12.13б изображены векторы , , , в каждой из исследуемых точек.

Поскольку в точке O

,

то согласно рис. 12.13б . Напряженность электрического поля в точке A

,

где .

Напряженность электрического поля в точке B

,

где ;

.

Для определения числовых значений напряженностей и необходимо найти по заданному напряжению U величину линейного заряда τ. Для этого используем первую группу формул Максвелла

Поскольку и учтя, что и , получаем

,

где l – длина проводника.

Потенциальные коэффициенты и определяются выражением

м/Ф,

м/Ф.

Следовательно,

,

откуда  Кл/м.

Задача 12.9

Р ассчитать ёмкость плоского конденсатора, площадь пластин которого  м², расстояние между пластинами  мм, диэлектриком служит слюда ( ). К конденсатору приложено напряжение 300 В.

Определить энергию электрического поля конденсатора и силу притяжения пластин .

Решение

Направим ось X нормально к пластинам конденсатора (рис. 12.14). Точка находится на внутренней поверхности правой пластины. Между обкладками конденсатора поле однородно ( ) и подчиняется уравнению Лапласа

.

В прямоугольной системе координат φ зависит от координаты x, следовательно

или ,

.

Определим постоянные интегрирования и . Примем при . Тогда . При , , т.е. , откуда

.

Потенциал будет изменяться по линейному закону

. (12.15)

Емкость

,

где  – поверхностная плотность заряда.

Энергия электрического поля конденсатора

 Дж.

Сила, возникающая вследствие взаимодействия пластин с электрическим полем:

.

Согласно (12.11) при . Тогда

.

При имеем

 Н.

Задача 12.10

З аряженный длинный прямой провод расположен в воздухе над металлической плитой вблизи толстой керамической стенки (рис. 12.15). Линейная плотность заряда   . Радиус сечения провода  см. Диэлектрическая проницаемость керамики . Высота подвеса провода над металлической плитой  см, провод находится на расстоянии см от керамической стенки.

Определить напряжение между проводом и металлической плитой.

Решение

Согласно методу зеркальных отображений схема для расчета поля в среде с будет иметь вид, показанный на рис. 12.16.

Здесь τ' – фиктивный заряд, определяемый выражением [1]:

 Кл/м.

Расчетная схема получена путем последовательного отображения заряда с линейной плотностью τ в каждую из областей.

Для определения напряжения между проводом и металлической плитой воспользуемся первой группой формул Максвелла [1]:

где и – потенциалы проводов относительно плоскости .

Потенциальные коэффициенты определяются выражениями [1]

 м/Ф,

 м/Ф.

Следовательно, напряжение между проводом и металлической плитой

 В.

Задача 12.11

К плоскому воздушному конденсатору, имеющему площадь обкладки  см², расстояние между обкладками  мм, приложено напряжение  В.

Определить напряженность электрического поля и ёмкость конденсатора. Как повлияет проводящая пластина толщиной  мм (рис. 12.17), помещенная между электродами, на характеристики поля и величину ёмкости конденсатора?