Решение
Если пренебречь влиянием краев цилиндра, то по соображениям симметрии потенциал φ будет функцией только одной координаты R.
П
оле
между цилиндрами описывается уравнением
Лапласа
. В
цилиндрической системе координат
.
Так как
, 
,
то
, 
.
Таким образом, уравнение Лапласа примет вид
.
(12.14)
Непосредственным
интегрированием находим выражение
потенциала в первом слое (
).
Для этого обозначим в выражении (12.14)
,
откуда
.
Аналогично
во втором слое (
)
.
Напряженность электрического поля . Поскольку потенциал зависит только от координаты R, то у вектора будет только одна составляющая:
.
Следовательно,
в первом слое
,
во втором слое
.
Чтобы
найти постоянные интегрирования
и
,
используем граничные условия
, 
.
При
,
т.е.
,
откуда
.
При
или
,
т.е.
,
откуда
.
По условию при . Тогда
.
Так как потенциал непрерывен во всех точках поля, то
,
.
Подставив значение постоянных и , получим
, 
,
,
,
.
Напряжение, приложенное к конденсатору:
.
Емкость конденсатора
.
На рис. 12.10а, б приведены кривые изменения E, D и φ в зависимости от R. На границе двух слоев (при ) напряженность претерпевает скачок, величина которого
где
.
Вектор электрического смещения непрерывен:
.
Задача 12.6
Длинный
прямой заряженный проводник расположен
в воздухе параллельно проводящей
поверхности на расстоянии
мм
от последней (рис. 12.11а). Радиус провода
мм.
Проводник находится под напряжением
В
относительно проводящей поверхности.
Определить напряженность электрического поля у проводящей поверхности и емкость системы.
Решение
Согласно
методу зеркальных изображений расчетная
схема будет иметь вид, показанный на
рис. 12.11б. Напряженность поля в некоторой
точке M,
лежащей на проводящей поверхности,
.
Вектор
и его составляющие образуют треугольник
,
подобный треугольнику
,
откуда
,
где
;
.
Тогда
,
при
;
.
Напряжение
.
Т.к.
потенциал поверхности
,
то
.
Емкость системы на единицу длины
и будет вдвое больше емкости двухпроводной линии, составленной из проводника и его изображения.
Линейная плотность
Кл/м,
кВ/м.
Задача 12.7
Определить
напряжение, при котором возникает корона
в воздухе между двумя параллельными
проводами с радиусами
мм
и
мм
(рис. 12.12). Расстояние между проводами
мм.
Считать, что корона в воздухе возникает
тогда, когда напряженность поля достигнет
кВ/см.
Решение
Наибольшая напряженность здесь будет на поверхности провода с большей кривизной в точке A. Для определения положения точки необходимо найти положение электрических осей, определяемое расстояниями b, h1 и h2, которые получаются из уравнений эквипотенциальных поверхностей в поле двух заряженных осей:
Решая систему уравнений, получим
мм,
мм,
мм.
Тогда точка A находится от электрической оси первого провода (его потенциал будем считать положительным) на расстоянии
мм,
а от электрической оси второго провода – на расстоянии
мм.
Напряженность электрического поля в точке A можно подсчитать путём суммирования составляющих напряженности, обусловленных положительно и отрицательно заряженными осями, так как эти составляющие совпадают по направлению:
.
Линейная плотность заряда на осях
.
Ёмкость на единицу длины проводов определяется выражением [1]
.
Тогда
кВ.
Задача 12.8
В
двухпроводной линии радиус круглых
проводов
мм,
расстояние между проводами
см,
высота подвеса над землей
м.
Между проводами приложено напряжение
В
(рис. 12.13а).
Определить напряженность электрического поля в точках O, A, B на поверхности земли. Рассчитать ёмкость линии с учетом и без учета влияния земли.
