Решение

В нутри проводящего шара радиусом R₁ электростатическое поле и разность потенциалов отсутствуют.

1. Если шар, имеющий заряд +Q окружить сферической проводящей поверхностью радиусом R₂ то вследствие электростатической индукции на внутренней поверхности появится отрицательный заряд – Q, а на внешней – точно такой же положительный заряд +Q. Вне заряженного шара при напряженность электрического поля и потенциал (см. задачу 12.1) будут определяться из выражений

, .

а) Если то

 В/м, (12.7)

 В. (12.8)

При В/м, В.

б) Если , , то в любой точке пространства при

В/м, (12.9)

В. (12.10)

 В/м,  В/м,  В.

При изменения напряженности электрического поля и потенциала будут определяться выражениями (12.7) и (12.8):

 В/м,  В.

Н а рис. 12.5а показаны графики напряженности поля , и , а на рис. 12.5б – графики изменения потенциала , , .

3. При введении еще одной металлической оболочки радиусом R₃ вследствие электростатической индукции на ее поверхности будет индуцирован заряд +Q.

Задача 12.3

З аряженный проводящий шар расположен в воздухе (рис. 12.6). Заряд шара  Кл, радиус  см.

Определить величину электрической индукции D, напряженности электрического поля E, потенциала φ на поверхности шара, а также его емкость. Изменятся ли значения величин D и E, если шар переместить из воздуха в дистиллированную воду с ? Чему будет равна емкость шара при увеличении его радиуса в два раза?

Решение

Так как заряд распределен симметрично относительно центра шара, то векторы и в сферической системе координат имеют только радиальные составляющие и , зависящие лишь от одной координаты R. Так как для всех точек поверхности шара значение одинаково, то применим постулат Максвелла:

В/м, (12.11)

откуда величина вектора электрической индукции на поверхности шара

 Кл/м².

Напряженность электрического поля

 В/м.

Зависимость между напряженностью электрического поля и потенциалом

, ,

откуда

.

Пусть при . Тогда постоянная интегрирования и потенциал

 В.

Емкость шара

, (12.12)

Если шар переместить из воздуха в дистиллированную воду, то величина вектора останется прежней, так как он от среды не зависит согласно (12.11) , а величина вектора

уменьшится в 80 раз.

При увеличении радиуса шара в два раза емкость шара согласно (12.12) в два раза увеличится.

Задача 12.4

Провод радиусом  см и длиной  м расположен в воздухе (рис. 12.7а). Заряд провода  Кл.

Найти зависимости напряженности электрического поля , электрического смещения и потенциала от расстояния от оси провода, а также емкость провода.

Решение

Пусть ось Z цилиндрической системы координат совпадает с осью провода (рис. 12.7б). Очевидно, что в любой точке, лежащей на поверхности цилиндра радиусом, R вектор имеет единственную составляющую , постоянную во всех точках этой поверхности. Ограничим эту цилиндрическую поверхность двумя основаниями, перпендикулярными оси и отстоящими одно от другого на расстояние l.

Поток вектора такого цилиндра, согласно теореме Гаусса,

,

откуда

, (12.13)

где R изменяется в пределах , так как внутри провода электрическое поле отсутствует и

.

Напряженность электростатического поля и электрическое смещение вне провода

 В/м,

 Кл/м².

Так как

,

то

.

П римем при , тогда

,

откуда

 В,

 В.

Графики зависимостей и показаны на рис. 12.8а,б.

Емкость провода

;

 Ф.

Задача 12.5

Исследовать электрическое поле и определить емкость коаксиального кабеля, имеющего двухслойную изоляцию (рис. 12.9), если  см,  см,  см, , . Длина кабеля l = 10 м, приложенное к нему напряжение U = 100 В.

Начертить графики E, D, φ в зависимости от R, приняв при .