Глава 12

ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОЕ ПОЛЕ

Теоретические положения

Закон Кулона:

, (12.1)

где – единичный вектор, направленный по линии, соединяющей заряды q₁ и q₂;

r – расстояние между зарядами.

Напряженность электрического поля точечного заряда q:

. (12.2)

Потенциал электрического поля точечного заряда:

. (12.3)

Потенциал электрического поля точечного, линейного, поверхностного и объемного зарядов:

. (12.4)

Зависимость между напряженностью электрического поля и потенциалом:

(12.5)

Зависимость между напряженностью электрического поля и электрическим смещением (электрической индукцией):

, (12.6)

где Ф/м – электрическая постоянная;

– относительная диэлектрическая проницаемость;

– абсолютная диэлектрическая проницаемость среды;

– вектор поляризации;

– относительная электрическая восприимчивость.

Теорема Гаусса (в интегральной форме):

. (12.7)

Теорема Гаусса (в дифференциальной форме):

. (12.8)

Уравнение Пуассона и Лапласа:

, . (12.9)

Основные уравнения электростатического поля:

(12.10)

Граничные условия в электростатическом поле:

(12.11)

где и – нормальные к граничной поверхности составляющие вектора электрического смещения;

и – тангенциальные (касательные к граничной поверхности) составляющие вектора напряженности электрического поля;

– поверхностная плотность свободных зарядов на границе раздела.

Граничные условия на поверхности проводника, помещенного в электростатическое поле:

(12.12)

Энергия электрического поля:

. (12.13)

Сила, действующая на заряд q:

. (12.14)

Примеры решения задач

Задача 12.1

Заряд  Кл равномерно распределен по поверхности проводящей сферы радиусом  см, находящейся в воздухе.

1. Построить графики изменения напряженности E и потенциала φ внутри и вне шара в функции расстояния R от его центра, приняв при .

2. Какой заряд следует сообщить шару, чтобы произошел пробой воздуха, если кВ/см?

3. Почему молниеотвод имеет заостренную форму?

Р ешение

1. Начало координат поместим в центре шара. Так как заряд распределен симметрично относительно центра шара, то вектор напряженности электрического поля E в сферической системе координат имеет только радиальную составляющую E_R, зависящую лишь от одной координаты R.

Поле внутри шара отсутствует, так как шар проводящий, и . Исследуем поле вне шара. Для этого проведем на расстоянии сферическую поверхность S и применим теорему Гаусса (рис 12.1). Так как для всех точек поверхности S численное значение вектора одинаково, а направление совпадает с направлением положительной нормали к поверхности S, то

,

,

 В/м. (12.15)

Из выражения (12.15) следует, что максимальное значение E будет при :

 В/м.

Так как , то .

По условию при поэтому и

 В. (12.16)

На рис. 12.2а,б показаны кривые зависимости и , построенные на основании зависимостей (12.15) и (12.16).

2. Величина заряда, которую следует сообщить шару, чтобы произошел пробой, определяется на основании выражения (12.15). При

,

 Кл.

3. Как следует из формулы (12.15), напряженность электростатического поля Е обратно пропорциональна , то есть чем больше кривизна поверхности, тем больше Е, тем больше поверхностная плотность заряда ( ). Отсюда следует, что разрядники (молниеотводы) должны иметь заостренную форму.

Задача 12.2

Проводящий шар радиусом R₁ = 1 см равномерно заряжен (Q = 6,28·10^-9 Кл) и окружен концентрическим полым металлическим шаром радиусом R₂ = 4 см. Пространство между ними заполнено диэлектриком с диэлектрической проницаемостью ε₁ (рис. 12.3).

1. Построить кривые изменения напряженности электрического поля и потенциала в зависимости от расстояния от центра шара, если а)  б)  , .

2. Будет ли существовать заряд на внешней оболочке и изменится ли его величина, если ?

3. При введении еще одной металлической оболочки радиусом (рис. 12.4) будет ли на ней заряд и чему он будет равен?