1.7. Коммерческий банк учитывает векселя по учетной ставке 12,5%. Определить, процентную ставку, по которой он выдает кредиты.
В соответствие с (1.6), r(t)=d(t)/[1 - d(t)] = 0,125/(1-0,125) = 0,1429 или 14,29%
П 1.2. Приведение к базовому периоду. Простые и сложные проценты
Очевидно, что результаты операций наращения и дисконтирования, а также величины r(t) и d(t) будут зависеть от времени t, которое длится операция. Чтобы избежать неоднозначности, в финансовых расчетах принято указывать величину ставки процента (r) и дисконта (d), отнесенные к базовому периоду времени t = 1 год, или в процентах годовых. Величины ставки процента и ставки дисконта за фактический период времени t определяются по некоторым стандартным правилам.
Приведение к базовому периоду по схеме простых процентов используется при длительности периода менее 1 года. В этом случае:
r(t) = rT , d(t) = dT (1.7)
где r – величина ставки, выраженная в процентах годовых; Т = n/365(или 366) = k/12 – безразмерная относительная длительность фактического периода времени, составляющего n дней или k месяцев.
Примеры
1.8. Выдана ссуда 120,0 млн. Руб. Из расчета 24% годовых на 4 месяца. Какова будет сумма погасительного платежа?
В соответствие с (1.1) и (1.7) :
FV = PV(1+rT) = 120,0[1 + 0,24(4/12)] = 129,6 (млн.руб.)
1.9. Вексель на 2,0 млн. рублей, выданный на 1 год со сроком погашения 16 мая, был предъявлен к учету 01 апреля. Банк согласился учесть вексель со ставкой дисконта 24% годовых. Какую сумму получил держатель векселя?
Согласно (1.4) и (1.7):
PV = FV(1-dT) = 2,0[1 – 0,24(45/360)] = 1,94 (млн.руб.)
Приведение к базовому периоду по схеме сложных процентов используется при расчетах, охватывающих периоды времени более одного года. В частности, сумма, получаемая единовременно по истечении n полных лет при ставке процента ri (будущая стоимость):
FVn = PV (1+r1 )(1+r2 )…(1+rn ) (1.8)
По итогам каждого года капитал как бы изымается из оборота с начисленными простыми процентами и тут же вкладывается вновь (реинвестируется) по новой ставке процента.
В случае, если процентная ставка остается неизменной на протяжении n периодов, соотношение (1.8) несколько упрощается:
FV
= PV (1+r ) (1+r ) …(1+r ) = PV(1+r )n
(1.9)
n
Приведенная (настоящая) стоимость суммы FVn , предназначенной к получению через n периодов:
PV = FVn / (1 + r)n
Выражение 1/(1 + r)n называют также дисконтирующим множителем,
а (1 + r )n – факторным множителем.
В случае, если рассматривается период, не кратный целому числу лет, то для части фактического периода, кратного целому числу лет, используется соотношение (1.8), а для остатка интервала, длительностью менее года - соотношение (1.2) с учетом (1.7).
Пример.
1.10. Вклад в размере 100,0 тыс. руб. размещен в коммерческом банке сроком на 2 года на условиях, согласно которым на него ежегодно будут начисляться проценты в размере 80% от ставки рефинансирования Банка России. В 2007 г. ставка рефинансирования составила 12,5%; в 2008 -–11% годовых. Какая сумма оказалась на счете 1 января 2009 г.?
Cогласно (1.8),
FV=PV(1+r1)(1+r2)=100,0(1+0,125*0,8)(1+0,11*0,8)= 100*1,1*1,088=119,68 (тыс.руб.)
Сложные проценты могут начисляться и за период, не равный году – при т.н. внутригодовом начислении процентов. Схема наращения при внутригодовом начислении:
FVm = PV [1+(r/m)]mT (1.10)
где m – число начислений в году; T – относительное время.
Пример.