2. Обчислення об’ємів.

Нехай задана криволінійна трапеція, яка обмежена – невід’ємною функцією на відрізку . Нехай ця трапеція обертається навколо осі Ох.

Розіб’ємо відрізок ab на п частин довільним чином: . На кожному проміжку візьмемо довільну фіксовану точку (зета). Обчислимо значення функції в цих точках: .

Припустимо, що на кожному проміжку часу крива паралельна вісі Ох. Утворилися циліндри. Об’єм циліндра висотою і радіусом дорівнюватиме . Весь об’єм тіла – це наближене значення об’єму, що залежить від розбиття та від вибору точок.

Результат буде точніше, якщо проміжки зменшувати, тому .

А це означення інтеграла для функції , отже, .

Розглянути випадки:

1. , .

2. – довільна (+,–,+), .

3. , .

4. , .

Теорема 3. Нехай функції та неперервні на сегменті , – одного знаку. Тоді об’єм тіла, утвореного обертанням навколо осі Ох криволінійної трапеції, що обмежена кривими та на відрізку , дорівнює

.

Теорема 4. Нехай функції та неперервні на сегменті , – одного знаку. Тоді об’єм тіла, утвореного обертанням навколо осі Оу криволінійної трапеції, що обмежена кривими та на відрізку , дорівнює

.

Приклад 9.2. Обчислити об’єм тіла, утвореного обертанням навколо осі О_х фігури, обмеженою лініями: та .

Знайдемо точки перетину графіків функцій з системи:

.

.

Отже, (куб. од.).