2. Визначений інтеграл.

Нехай на відрізку визначена функція . Розіб’ємо відрізок ab на п частин довільним чином: . На кожному проміжку візьмемо довільну фіксовану точку (зета). Обчислимо значення функції в цих точках: .

Сума називається інтегральною сумою для функції.

Означення 3.1. Нехай границя інтегральної суми при прямуванні існує, скінчений та не залежить від розбиття та від вибору точок. Тоді ця границя називається визначеним інтегралом від функції на і позначається , де ∫ – знак інтеграла, – підінтегральна функція, – підінтегральний вираз, а – нижня межа, b – верхня межа.

Зауваження. Невизначений інтеграл – це множина функцій, а визначений інтеграл – це число.

Теорема 3.1 (І необхідна умова існування означеного інтеграла). Для того, щоб функція була інтегрована на сегменті необхідно, щоб ця функція була обмежена на цьому сегменті.

Теорема 3.2 (І достатня умова існування означеного інтеграла). Якщо функція неперервна на сегменті , то вона інтегрована на цьому сегменті.

Теорема 3.3 (ІІ достатня умова існування означеного інтеграла). Якщо функція обмежена і монотонна на сегменті , то вона інтегрована на цьому сегменті.

Геометричний зміст визначного інтеграла. Якщо – невід’ємна функція на відрізку , то –площа криволінійної трапеції під кривою на відрізку .

3. Властивості визначеного інтеграла.

Властивість 1. .

Властивість 2. .

Властивість 3. Сталий множник можна винести за знак інтеграла.

.

Властивість 4. Інтеграл суми дорівнює сумі інтегралів.

.

Властивість 5. Якщо відрізок інтегрування розбити на частини, то інтеграл на всьому відрізку дорівнює сумі інтегралів на кожній його частині.

.

Властивість 6. Якщо на відрізку , то .

Властивість 7. .

Властивість 8. Якщо функція неперервна на сегменті , то знайдеться таке значення , що .

Означення 3.2. Інтеграл називається інтегралом із змінною верхньою межею.

Властивість 9. Якщо функція неперервна на сегменті , то функція також неперервна на сегменті .

Властивість 10. Якщо функція неперервна на сегменті , то похідна від функції по змінній верхній межі дорівнює підінтегральній функції.

.

4. Формула Ньютона-Лейбниця.

Теорема. Нехай функція неперервна на сегменті , – довільна первісна на . Тоді визначений інтеграл від функції дорівнює приросту первісної на цьому відрізку.

.

Приклад 3.1. .

5. Метод заміни змінної.

Теорема. Нехай функція має неперервну похідну на сегменті , , і функція , неперервна в кожній точці х виду , де . Тоді має місце формула заміни змінної.

.

6. Інтегрування частинами.

Теорема. Нехай на сегменті визначені та диференційовані функції та , причому має первісну на цьому проміжку. Тоді має місце рівність.

.

Тема 4. Застосування інтегралів.

1. Обчислення площ.

Геометричний зміст визначного інтеграла. Якщо – невід’ємна функція на відрізку , то – площа криволінійної трапеції під кривою на відрізку , тобто .

Розглянути випадки:

1. , .

2. – довільна (+,–,+), .

3. , .

4. , .

5. , , .

6. – довільні, .

Теорема 1. Нехай функції та неперервні на сегменті , . Тоді площа криволінійної трапеції, що обмежена кривими та на відрізку , дорівнює

.

Теорема 2. Нехай функції та неперервні похідну на сегменті , . Тоді площа криволінійної трапеції, що обмежена кривими та на відрізку , дорівнює

.

Приклад 9.1. Обчислити площу фігури, обмеженою лініями: та .

Н акреслимо дану фігуру. Знайдемо точки перетину графіків функцій з системи:

.

.

Отже, (кв. од.).