11

Тема 1. Невизначений інтеграл.

1. Первісна функції.

Раніше ми по заданій функції шукали похідну. Але можна сформулювати обернену задачу: задана похідна від функції, треба знайти функцію.

Означення 1.1. Нехай на множині Х задана функція . Функція називається первісною до функції на проміжку Х, якщо функція диференційована на цьому проміжку та в кожній точці проміжку.

Приклад 1.1. , . , . , .

, , , , .

Отже, до однієї і тієї ж функції є безліч первісних.

Теорема. Якщо і – первісні до функції на проміжку Х, то знайдеться таке число С, що .

З теореми випливає, що всю множину первісних можна записати у вигляді: .

2. Невизначений інтеграл. Таблиця інтегралів.

Означення 1.2. Множина всіх первісних до функції на проміжку Х називається невизначеним інтегралом від функції і позначається , де ∫ – знак інтеграла, – підінтегральна функція, – підінтегральний вираз, – деяка первісна, С – довільне число.

Дія знаходження невизначеного інтегралу називається інтегруванням.

Таблиця інтегралів.

1.	6.	11.
2.	7.	12.
3.	8.	13.
4.	9.
5.	10.

3. Властивості невизначених інтегралів.

Властивість 1. Похідна від невизначеного інтегралу дорівнює підінтегральній функції.

.

Властивість 2. Диференціал від невизначеного інтегралу дорівнює підінтегральному виразу.

.

Властивість 3. Невизначений інтеграл від диференціала деякої функції дорівнює цій функції з точністю до сталого доданка.

.

Властивість 4. Сталий множник можна винести за знак інтеграла.

.

Властивість 5. Інтеграл суми дорівнює сумі інтегралів.

.

4. Метод заміни змінної.

Теорема. Нехай на проміжку Х визначена функція , яка має первісну функцію і нехай на проміжку Т визначена функція , яка диференційована на проміжку Т і кожну точку проміжку Т переводить в точку проміжку Х. Тоді має місце формула заміни змінної.

.

Приклад 1.1. .

Іноді нову змінну можна не виписувати явно, а підводити під знак диференціала.

Приклад 1.2. .

Приклад 1.3. .

Приклад 1.4. .

Приклад 5.5. .

В прикладах 5.4 та 5.5 для знаходження інтегралів була використана лінійна підстановка , тому існує теорема.

Теорема. Нехай деяка первісна для функції . Тоді

,

де k і b – деякі числа, .

Приклад 1.6. .

Приклад 1.7. .

Приклад 1.8. .

Приклад 1.9. .

Теорема. Якщо в чисельнику стоїть похідна від знаменника, то інтеграл дорівнює логарифму від знаменника.

Приклад 1.10. .

5. Інтегрування частинами.

Теорема. Нехай на проміжку Х визначені та диференційовані функції та , причому має первісну на цьому проміжку. Тоді має місце рівність.

.

1. Коли множиться на одну з функцій: , , , . Причому , dv – це функція. Щоб знайти dи, треба знайти похідну і помножити на dх. Щоб знайти v, треба знайти первісну (С=0).

Приклад 1.11.

.

2. Коли присутні логарифми. Причому – це логарифми, dv – решта виразу.

Приклад 1.12. .

3. Коли присутні арки. Причому – це арк, dv – решта виразу.

Приклад 1.13.

.

4. Мішані.

Приклад 1.14.

.

.