2. Диапазоны устойчивости

Мы видели, что задачи линейного программирования возникают во многих практических ситуациях. Примеры и упражнения предыдущих лекций могут дать представление об области применения симплекс-метода. Коэффициенты, входящие в математическую формулировку задачи, часто имеют физический смысл в практических задачах. Коэффициенты целевой функции могут выражать прибыль при коммерческих операциях. Значения, входящие в правые части ограничений, могут выражать ограниченность доступных ресурсов. Можно ожидать, что в подобных случаях эти значения будут меняться, что, в свою очередь, приведет к изменению формулировок математических задач. Например, благодаря повышению производительности труда может увеличиться доступное производительное время станков; пожар на складе может снизить поставки сырья; трудности, связанные с плохой погодой, могут привести к увеличению прибыли от продажи некоторых наименований товаров. Как действовать в подобных ситуациях?

Один из самых примитивных способов состоит в том, чтобы учесть возникающие физические изменения, поставить новую математическую задачу и решить ее с начала. Однако этот способ может быть весьма неэффективен; он не учитывает полезную работу, проведенную при решении задачи до изменений.

Давайте последовательно рассмотрим:

1) изменения в b_i (значения правых частей);

2) изменения в с_j (коэффициенты целевой функции);

3) включение дополнительных ограничений.

1) Изменения в bi

Пусть исходные ограничения заданы в виде Ax=b и функция z=c^Tx должна быть минимизирована.

Пусть новая задача формулируется так:

с той же целевой функцией z=c^Tx.

Предположим, что исходная задача решена. Пусть в оптимальном базисе соответствующая подматрица матрицы В имеет обратную матрицу B^-1. Пусть π₁, π₂,…., π_m являются симплекс-множителями, а значения базисных переменных исходной задачи задаются формулой

(3.10)

Из уравнения (3.5) значение целевой функции выражается следующим образом:

(3.11)

причем все

(3.12)

(коэффициенты при базисных переменных равны 0, при небазисных переменных ≥0).

Теперь при изменении только коэффициентов b_i, уравнение (3.12) для новой задачи останется неизменным. Поэтому если базисное решение остается допустимым и для новой формулировки задачи, то оно будет и оптимальным базисным допустимым решением для этой задачи. Новые значения для базисных переменных находятся по формуле

(3.13)

Если х* > 0, то оно будет базисным допустимым значением для новой задачи, а также оптимальным решением уравнения (3.12). Новым значением функции z будет

(3.14)

Таким образом из уравнения (3.11) можно получить

(3.15)

где z^opt рассматривается как функция от b₁, b₂,…, b_m. Разумеется, если сильно изменить b_i, то точка , определяемая уравнением (3.13), будет неоптимальна и задачу придется решать сначала.

Пример 1

Рассмотрим еще раз пример 1 предыдущей лекции.

Фирма производит две модели А и В сборных книжных полок. Их производство ограничено наличием сырья высококачественных, досок и временем машинной обработки. Для каждого изделия модели А требуется 3 м² досок, а для изделия модели В - 4 м². Фирма может получить от своих поставщиков до 1700 м² досок в неделю. На каждое изделие модели А требуется 12 мин машинного времени, а на изделие модели В — 30 мин. В неделю можно использовать 160 ч машинного времени. Если каждое изделие модели А приносит 2 дол. прибыли, а изделие модели В — 4 дол. прибыли, сколько изделий каждой модели фирме необходимо выпускать в неделю?

Если план выпуска изделий модели А — х₁ единиц, а модели В – x₂ единиц, то задача линейного программирования состоит в том, чтобы найти такие х₁, x₂ ≥ 0, что

при которых минимизируется функция -2x₁-4x₂=z (прибыль, взятая с обратным знаком).

Первая и последняя (оптимальная) таблицы имеют соответственно следующий вид:

Обращенный базис имеет вид ; симплекс-множители равны 2/7, 4/7.

1. Предположим, что появилась возможность приобрести дополнительное сырье у второго поставщика. Сколько ему можно заплатить за 1 м²?

Допустим, что в первом ограничении 1700 было заменено на 1701. Вектор b заменяется на новый вектор

Новыми значениями базисных переменных будут (см. 3.13 )

что допустимо.

Оптимальное значение для функции z меняется на значение (-Σ(b_i+∆b)π_i) в данном случае - (2/7*1701 + 4/7*1600) =

= -1400-2/7.

Таким образом, прибыль возрастает на 2/7 дол., и это - максимальная цена, которую следует заплатить за дополнительный 1 м² доски.