Основные дискретные распределения. (Равномерное, Бернулли, Биномиальное, Геометрическое, Пуассона, Усеченное геометрическое, Гипергеометрическое).
Основные распределения дискретных случайных величин.
Биномиальный закон распределения.
Определение: Случайная величина Х называется распределенной по биномиальному закону, если ее возможные значения 0,1,2, …, m, …,n, а соответствующие вероятности
n.
(1)
Где 0<p<1, q=1-p.
Ряд распределения биномиального закона имеет вид:
Хi |
0 |
1 |
2 |
… |
m |
… |
n |
pi |
|
|
|
… |
|
… |
pn |
+
+…+
+…+
pn=(q+p)n=1n=1.
То есть ряд распределения задан корректно.
Приведем многоугольники распределений для случайной величины Х с параметрами распределения n=5 и p=0,2; 0,5; 0,7;0,8. Для этого составим вспомогательную таблицу:
pi/m |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
0,2 |
0,00032 |
0,4096 |
0,2048 |
0,0512 |
0,0064 |
0,00032 |
0,5 |
0,03125 |
0,15625 |
0,3125 |
0,3125 |
0,15625 |
0,03125 |
0,7 |
0,00243 |
0,02835 |
0,1323 |
0,3087 |
0,36015 |
0,16807 |
0,8 |
0,00032 |
0,0064 |
0,0512 |
0,2048 |
0,4096 |
0,32768 |
Теорема: Математическое ожидание случайной величины Х, распределенной по биномиальному закону
М(Х)=np, (2)
а ее дисперсия
D(X)=npq. (3).
Закон распределения Пуассона.
Определение:
Дискретная случайная величина Х имеет
закон распределения Пуассона с параметром
=np>0
, если она принимает значения
0,1,2,3,….,m,….(Бесконечное,
но счетное множество значений) с
вероятностями
.
(4)
Ряд распределения Пуассона имеет вид:
Хi |
0 |
1 |
2 |
… |
m |
… |
pi |
|
|
|
… |
|
… |
Определение
закона Пуассона корректно, так как
основное свойство ряда распределения
выполнено, так как
+
+
+….+
+…=
=
=1
(ибо в скобках записано разложение в
ряд функции
при х=
).
Составим многоугольники распределений для случайной величины Х с параметрами распределения =0,5 ; =1; =2; =3,5. Для этого составим вспомогательную таблицу:
m/ |
0,5 |
1 |
2 |
3,5 |
0 |
0,608581 |
0,37037 |
0,137174 |
0,030919 |
1 |
0,30429 |
0,37037 |
0,274348 |
0,108217 |
2 |
0,076073 |
0,185185 |
0,274348 |
0,189379 |
3 |
0,012679 |
0,061728 |
0,182899 |
0,220943 |
4 |
0,001585 |
0,015432 |
0,091449 |
0,193325 |
5 |
0,000158 |
0,003086 |
0,03658 |
0,135327 |
Теорема: Математическое ожидание и дисперсия случайной величины Х, распределенной по закону Пуассона совпадают и равны параметру этого закона
М(Х)= , (5)
D(X)= . (6).
Доказательство:
Математическим ожиданием дискретной случайной величины называют сумму произведений всех ее возможных значений на их вероятности.
По определению, когда дискретная случайная величина принимает счетное множество значений:
Первый член суммы (соответствующий m=0) равен нулю, следовательно, суммирование можно начинать с m=1:
Таким образом, параметр а представляет собой не что иное, как математическое ожидание случайной величины Х.
Дисперсией случайной величины Х называют математической ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания:
Однако, удобнее ее вычислять по формуле:
Поэтому найдем сначала
По ранее доказанному
кроме того,
следовательно,
Далее можно найти дисперсию случайной величины Х:
.
Таким образом, дисперсия случайной величины, распределенной по закону Пуассона, равна ее математическому ожиданию .▄
Это свойство распределения Пуассона часто применяют на практике для решения вопроса, правдоподобна ли гипотеза о том, что случайная величина распределена по закону Пуассона. Для этого определяют из опыта статистические характеристики - математическое ожидание и дисперсию - случайной величины. Если их значения близки, то это может служить доводом в пользу гипотезы о пуассоновском распределении; резкое различие этих характеристик, напротив, свидетельствует против подобной гипотезы.
Вообще говоря, закон Пуассона является предельным для биномиального распределения.
Так как
функция вероятностей Пуассона хорошо
аппроксимирует функцию вероятностей,
определяемую по формуле Бернулли при
.
Так как при этом вероятность р события
А в каждом испытании мала, то закон
распределенипя Пуассона называется
часто законом редких явлений.
По закону Пуассона распределены, например, число отказов сложной системы в «нормальном режиме», число требований на обслуживание, поступивших на единицу времени в системах массового обслуживания, число рождения пятерней, число событий, попадающих на произвольный отрезок времени для простейшего потока событий.
Геометрический закон распределения.
Последовательно проводится несколько независимых испытаний до появления некоторого события Х , вероятность которого в каждом испытании одна и та же и равна р . Примером может служить стрельба по некоторой цели до первого попадания, причём вероятность попадания при каждом выстреле не зависит от результатов предыдущих выстрелов и сохраняет постоянное значение. Число произведённых выстрелов будет случайной величиной, возможные значения которой являются все натуральные числа.
Определение: Случайная величина Х имеет геометрическое распределение с параметром р, если она принимает значения 1,2,…., m,….(бесконечное, но счетное множество значений с вероятностями)
Р(Х=m)=pqm-1, где 0<p<1, q=1-p. (7)
Ряд геометрического распределения имеет вид:
Хi |
1 |
2 |
3 |
… |
m |
… |
pi |
р |
qp |
q2p |
… |
qm-1p |
… |
Как мы видим, вероятности рi образуют геометрическую прогрессию со знаменателем q. Отсюда и название: геометрическое распределение.
Определение
геометрического распределения корректно,
так как сумма ряда
.
Теорема: Математическое ожидание случайной величины Х, распределенной по геометрическому закону с параметром р
М(Х)=
,
(8)
D(X)=
.
(9).
Пример: Проводится проверка большой партии деталей до обнаружения бракованной без ограничений числа проверенных деталей. Составить закон распределения числа проверенных деталей. Найти его математическое ожидание и дисперсию, если известно, что вероятность брака для каждой детали равна 0,1.
Решение: Случайная величина Х – число проверенных деталей до обнаружения бракованной имеет геометрическое распределение с параметром p=0,1. Ряд распределения имеет вид
Хi |
1 |
2 |
3 |
… |
m |
… |
pi |
0,1 |
0,09 |
0,081 |
… |
0,9m-10,1 |
… |
По формулам
(7) и (8) М(Х)=
,
D(X)=
.
Гипергеометрический закон распределения.
Определение: Дискретная случайная величина Х=m имеет гипергеометрическое распределение с параметрами n, N,M, если она принимает значения 0,1,2,…,m,..
C
вероятностями
(10),
Где
n,
M, N
– натуральные числа.
Гипергеометрическое распределение имеет случайная величина X=m - число объектов, обладающих данным свойством, среди n объектов , случайно извлечённых (без возврата) из совокупности N объектов, M из которых обладают этим свойством.
Теорема: Математическое ожидание случайной величины X, имеющей гипергеометрическое распределение с параметрами n, N, M, равно,
(11)
а её дисперсия
(12).
Гипергеометрическое распределение широко используется в практике статистического приёмочного контроля качества промышленной продукции, в задачах, связанных с организацией выборочных обследований и некоторых других областях.
Гипергеометрическое распределение возникает также в случаях, подобных следующему:
В урне N шаров, из которых M белых, а остальные черные. Из нее наудачу вынимается n шаров. Требуется найти вероятность того, что среди них будет ровно m белых, а остальные – черные. Случайная величина Х – число белых шаров, извлеченных из урны.
Распределение Бернулли
Говорят,
что случайная величина
имеет
распределение Бернулли с параметрами
p (0<p<1), если она имеет лишь два значения,
обозначаемые обычно 0 и 1, и при этом
P{ = 1} = p = 1 – P{ = 0}
В терминах плотности f(x) это можно записать в виде
f(x) = f(x | p) = pxq1-x, x = 0,1, q = 1 – p (2)
В
символьных обозначениях сказанное
выражается кратко так: 
и
называется бернуллиевской
моделью.
Фундаментальная роль этой модели в
теории вероятностей и математической
статистике ясна: она является подходящей
математической моделью для любого
эксперимента с двумя исходами ("успех"
- "неуспех"), т.е. простейшего
статистического эксперимента. Среднее
и дисперсия такой случайной величины
есть
E = p и D = pq. (3)