1. Системы счисления. Назначение. Принципы построения n-мерной системы счисления.

Система счисления — символический метод записи чисел, представление чисел с помощью письменных знаков.

Система счисления:

• даёт представления множества чисел;

• даёт каждому числу уникальное представление (или, по крайней мере, стандартное представление);

• отражает алгебраическую и арифметическую структуру чисел.

Системы счисления подразделяются на позиционные, непозиционные и смешанные (в зависимости от того, зависит ли значение числа от позиций его цифр).

Принципы построения q-мерной системы счисления:

В q-мерной системе счисления цифры располагаются вправо и влево от точки (запятой), разделяющей целую и дробную части. Каждая цифра имеет вес, определяемый степенью основания системы - q. Значение числа понимается как сумма произведений этих цифр, на их веса (весовые коэффициенты) qⁱ (где i - номера позиций соответствующих цифр относительно запятой).  .  

В общем виде число в произвольной системе счисления запишется в форме:

A_q = a_n-1 · q^n-1 + . . . + a₁ · q¹ + a₀ · q⁰ + a_-1 · q^-1 + a_-2 · q^-2 + . . . + a_-m · q^-m

или

Aq= n -1 i = -m ai · qi,

Где:

q – целое положительное основание системы счисления (количество цифр в данной с.сч.); A – число в данной системе счисления;

i - номера позиций соответствующих цифр относительно запятой.

n; m – порядок числа, слева и справа соответственно. 

n – от 0 (для целой части), m – от -1 (для дробной части).

a – цифра числа в системе счисления с основанием q;

2. Перевод с 2-ичной системы счисления в 10-ичную и наоборот: Правила. Пример.

2 -> 10

Для перевода из 2 в 10, необходимо пронумеровать цифры числа в начальной системе счисления (начиная с 0 в обратном порядке для целой части и с -1 в прямом порядке для дробной) и выполнить сумму произведений цифр начального числа на основу начальной системы счисления (2) в степени, которая соответствует номеру той цифре начального числа, которая участвует в данном произведении.

Пример. 106.5₂ = 1∙2²+0∙2¹+6∙2⁰+5∙2^-1 = 4+0+6+2.5 = 12.5₁₀

10 -> 2

Для перевода из десятичной СС в двоичную необходимо произвести многократное деление числа на 2 нацело, результатом перевода являются остатки деления, записанные в обратном прядке. Если есть дробная часть, нужно отделить её от целой (0,…) и умножать столбиком на конечную основу систему счисления (2), если результат выше или равен 1-цы, тогда множим основу только на дробную часть результата. Чем больше операций умножения, тем точнее конечный результат дробной части. Дальше в прямом порядке записываем все целые части результатов от умножений и приписываем их к дробной части числа.

Пример. (17.7)d -> (10001.10110011001)b