1. Анализ глубины просмотра по каждой категории и в целом.

Вычислим следующие характеристики:

1. Характеристики центра распределения: - Среднее. - Медиана.

- Мода. Наиболее часто встречающееся значение.

2. Характеристики рассеяния: - Несмещённая исперсия. - Стандартное отклонение. - Нижняя квартиль. Значение, ниже которого лежат 25% данных. - Верхняя квартиль. Значение, ниже которого лежат 75% данных.

3. Характеристики формы: - Коэффициент асимметрии. - Коэффициент эксцесса.

Поскольку n > 10 000 и (n-3) ~ (n-2) ~ (n-1) ~ n, дроби в последних двух формулах можно упростить.

Также проверим три гипотезы:

1. Гипотеза нормальности распределения.

2. Гипотеза экспоненциальности распределения.

3. Гипотеза симметрии распределения.

Гипотеза нормальности. Модифицированный критерий χ2.

Совокупность выборочных данных разбивается на k интервалов и подсчитывается статистика критерия:

Границы интервалов заданы формулой

где - выборочное среднее, s - среднее квадратическое отклонение, а коэффициенты задаются по таблице. Массив коэффициентов для k = 14:

[-1.4652, -1.0676, -0.792, -0.566, -0.366, -0.18, 0, 0.18, 0.366, 0.566, 0.7916, 1.0676, 1.4652]

Если , гипотеза нормальности отклоняется.

Критическое значение

Реализация на Python:

def test_normal_Hi_squared(massive):

n = len(massive)

m = get_mean(massive, n)

s = get_unbiased_variance(massive, m, n)

c_coefficients = [-100000, -1.4652, -1.0676, -0.7916, -0.5660, -0.3661, -0.18,

0, 0.18, 0.3661, 0.5660, 0.7916, 1.0676, 1.4652, 100000]

intervals = [m + c*s for c in c_coefficients]

mi = 0

for i in range(1, len(intervals)):

hits = sum(1 for e in massive if (intervals[i-1]<e) & (e<intervals[i]))

mi += hits ** 2

hi_squared = (14 * mi / n) - n

threshold = 19.937 # из таблицы (стр. 231)

if hi_squared > threshold:

return "Гипотеза нормальности распределения отклоняется."

else:

return "Гипотеза нормальности распределения не отклоняется."

Источник литературы для этого метода:

Dahiya R. С, Gurland J. How many classes in the Pearson chi-square test? //

JASA. 1973. V. 68, №343. P. 707-712.

Гипотеза экспоненциальности. Критерий Колмогорова-Смирнова.

Предположим наличие гипотетического закона распределения

.

Оценки параметров μ и υ находятся из формул (выборка упорядочена):

Переходим к нормированному экспоненциальному распределению:

Для этого распределения имеется критерий согласия Колмогорова-Смирнова:

Критическое значение для критерия при уровне значимости 0.05 равно 1.094.

Реализация на Python:

def test_exponence_Kolmogorov(massive):

massive = sorted(massive)

n = len(massive)

m = get_mean(massive, n)

nu = n * (m-massive[0]) / (n-1)

mu = massive[0] - nu / n

z_minus, z_plus = [], []

for i, x in enumerate(massive):

z = 1 - exp(-(x - mu) / nu)

z_plus.append(i/n - z)

z_minus.append(z - (i-1)/n)

dn_plus, dn_minus = max(z_plus), max(z_minus)

result = max(dn_plus, dn_minus) * (n**0.5)

threshold = 1.094

if result > threshold:

return "Гипотеза экспоненциальности распределения отклоняется."

else:

return "Гипотеза экспоненциальности распределения не отклоняется."

Источник литературы для этого метода:

Spurrier J. D. On overview of tests of exponentiality //

Commun. Stat.-Theor. Meth. 1984. V. 13. P. 1635-1654.