2. Определение показателей центра распределения

К показателям центра распределения относятся: средняя арифметическая, мода и медиана.

Средняя арифметическая

где x_i –середина i-го интервала.

Мода – значение признака наиболее часто встречающееся в изучаемой совокупности.

Для нахождения моды по интервальному ряду распределения в начале определяем модальный интервал, т.е. интервал с максимальной частотой. В нашем случае таким интервалом будет интервал от 9 до 12 (4-й интервал). Далее величину моды вычисляем по формуле

,

где – нижняя граница модального интервала;

- размер модального интервала;

- частота модального интервала;

- частота интервала, предществующего модальному;

- частота интервала, следующего за модальным.

Медиана – значение признака, которое лежит в середине ранжированного ряда и делит этот ряда на две равные по численности части.

Для нахождения медианы по интервальному ряду распределения в начале определяем медианный интервал. Им будет первый сверху интервал, в котором накопленная частота больше или равна половине объема совокупности. В нашем случае половина объема совокупности n/2=50/2=25. Первый с верху интервал, в котором накопленная частота больше чем 25 – это интервал от 6 до 9 (в нем накопленная частота равна 26), поэтому этот интервал является медианным.

Далее величина медианы вычисляется по формуле

где – нижняя граница медианного интервала;

- размер медианного интервала;

- частота медианного интервала;

- накопленная частота интервала, предществующего медианному.

3. Определение показателей вариации

Вариация – различие индивидуальных значений признака внутри изучаемой совокупности.

Для характеристики изменчивости отдельных значений признака в статистике используют абсолютные и относительные показатели вариации.

Абсолютные показатели вариации:

Размах

Среднее линейное отклонение

Дисперсия

Среднее квадратическое отклонение

Относительные показатели вариации:

Коэффициент осцилляции

Относительное линейное отклонение

Коэффициент вариации

Поскольку коэффициент вариации больше 33%, то совокупность по изучаемому признаку является неоднородной.

4. Определение показателей формы распределения

Показатель асимметрии

На основе показателя асимметрии могут быть сделаны следующие выводы.

Если As < 0, то асимметрия левосторонняя, а если As < 0 – то правосторонняя.

Если |As|<0.25, то асимметрия незначительная (несущественная), т.е. распределение может быть признано симметричным.

Если |As|>0.5, то асимметрия значительная (существенная), т.е. распределение не может быть признано симметричным.

В нашем случае асимметрия левосторонняя. Однозначный вывод о ее существенности сделать нельзя.

Показатель эксцесса (островершинности)

,

где μ₄ – центральный момент 4-го порядка

Поскольку Ех <0, то распределение плосковершинное.

5. Проверка соответствия эмпирического распределения нормальному закону

Теоретические частоты для нормального распределения вычисляются по формуле

Таблица 2

Вычисление теоретических частот

№ Инт.	Середина интервала
1	1.5	-1.01556	0.3621995	4.700
2	4.5	-0.29986	0.7409070	9.620
3	7.5	-0.00764	0.9923890	11.880
4	10.5	-0.13893	0.8702889	11.297
5	13.5	-0.69371	0.4997186	6.487
6	16.5	-1.67198	0.1878747	2.439

По результатам вычислений строим график (рис. 5).

Рис. 5. Эмпирическое и теоретическое распределения

Для проверки соответствия эмпирического и теоретического распределений будем использовать критерий согласия Пирсона («хи-квадрат»)

.

Применение критерия Пирсона требует выполнения следующих условий:

1) число наблюдений должно быть достаточно большим (n≥50). Данное условие в нашем случае выполняется;

2) теоретические частоты в интервалах должны быть больше 5. Это условие в нашем случае не выполняется для первого и последнего интервала. Поэтому прежде чем вычислять критерий Пирсона произведем объединение интервалов – первого и второго, последнего и предпоследнего. Таким образом из 6 интервалов, которые у нас были в начале, останутся 4.

Таблица 3

Расчет критерия Пирсона

№ Инт.	fi
1			0.034
2
3	11	11.880	0.280
4	12	11.297	0.043
5			1.080
6
χ2=			1.437

Применение критерия согласия Пирсона требует использования специальных таблиц. Что бы избежать этого, вычислим на основе критерия Пирсона критерий Романовского

,

где γ=m^*-l-1 – число степеней свободы;

m^* - число интервалов после объединения (в нашем случае m^* =4);

l – число параметров распределения (для нормального распределения l=2).

γ=4-2-1=1;

.

В соответствии с критерием Романовского, если С<3, то эмпирическое распределение соответствует теоретическому.

В нашем случае С=0,309 < 3, следовательно эмпирическое распределение соответствует нормальному закону (закону Гаусса).

Задание 2.

Ряд динамики (временной ряд) – значения статистического показателя расположенные в хронологическом порядке. Временной ряд состоит из двух строк (колонок). В первой указываются периоды или моменты времени, а во второй – значения показателя, приходящиеся на эти периоды или моменты. Показатели второй строки (колонки) называются уровнями ряда динамики.

Возьмем первые 4 значения из первой строки исходных данных и расположим их в хронологическом порядке, как это показано в табл. 4.

Таблица 4

Временной ряд

Период времени, t	1	2	3	4
Показатель, y	11	9	2	8

Для анализа временных рядов используются специальные показатели, которые называются показателями динамики. Существует два способа расчета таких показателей: базисный и цепной. При определении базисных показателей текущий уровень ряда динамики y_i сравнивается с базисным уровнем y₀. Если иное не указано, то в качестве базы принимается первый уровень ряда (в нашем случае это значении 11). При вычислении цепных показателей текущий уровень ряда y_i сравнивается с предыдущим y_i-1.

1. Абсолютные приросты

а) базисные

;

;

;

б) цепные

;

;

.

2. Коэффициенты роста

а) базисные

;

;

;

б) цепные

;

;

.

3. Темпы роста

а) базисные

;

;

;

б) цепные

;

;

.

4. Темпы прироста

а) базисные

;

;

;

б) цепные

;

;

.

5. Абсолютное значение одного процента прироста

;

;

;

.

6. Средний уровень интервального ряда динамики, состоящего из абсолютных величин, определяется по формуле средней арифметической

,

где k – число уровней ряда динамики.

7. Средний абсолютный прирост

.

8. Средний коэффициент роста

.

9. Средний темп роста

.

10. Средний темп прироста

.

Задание 3.

1. Определение пределов, в которых находится генеральная средняя

Генеральная средняя находится в интервале от ( ) до ( ). Где - выборочная средняя (берется из первого задания, в нашем случае =8.07), - предельная ошибка средней:

,

где n – объем выборки (в нашем случае n=50 – из первого задания);

- выборочная дисперсия (в нашем случае =21.5 – из первого задания);

N – объем генеральной совокупности. По условию задания , откуда и N=500;

t – коэффициент доверия, он определяется по специальной таблице в зависимости от доверительной вероятности:

Доверительная вероятность	t
0.954	2
0.997	3

.

Таким образом, генеральная средняя с доверительной вероятностью 0.954 находится в интервале:

от (8.07-1.237) до (8.07+1.237)

или

от 6.833 до 9.307.