1.3. Последовательность создания математической модели

ММ является результатом совместной работы группы разработчиков, в которую входят специалисты в конкретной технической области (например, технологии машиностроения) и специалисты в области прикладной математики.

Разработка ММ выполняется в следующей последовательности:

1. Формулировка цели создания ММ.

2. Идеализация оригинала.

3. Формализация (выбор общего вида математического описания).

4. Идентификация параметров ММ.

5. Проверка адекватности ММ.

При формулировке цели необходимо указать конкретное назначение создаваемой ММ, область ее применения, интервалы изменения входных и выходных переменных и основные требования (в частности, допустимые затраты и требуемая точность) к ММ.

При идеализации производят анализ свойств оригинала (на основе сформулированной цели) и выделяют важные для данной задачи свойства оригинала. Эти свойства должны быть учтены в ММ. Например, при исследовании вибраций в технологической системе важными свойствами являются массы движущихся деталей, зазоры в соединениях, параметры возбуждающих воздействий и не существенными – цвет станка, расстояние между станками, степень освещённости рабочего места.

При формализации устанавливают общий вид математического описания, т.е. форму записи математических выражений, из которых будет построена ММ. При этом руководствуются следующими соображениями: если существуют определенные традиционные и априорные представления, то общий вид ММ устанавливают в с использованием сложившихся традиций. Например, составляющие силы резания в технологии машиностроения традиционно выражаются с помощью показательных нелинейных выражений. Если же предварительных сведений о наилучшей форме описания ММ нет, то целесообразно использовать универсальную форму математических выражений, какой является полиномиальное представление.

При идентификации устанавливаются численные значения параметров, которые входят в описание ММ. Например, для эмпирических ММ в виде уравнений регрессии при идентификации определяются коэффициенты регрессии.

При проверке адекватности определяют действительную погрешность ММ (оценка точности) и сравнивают её с допустимой погрешностью. Если действительная погрешность меньше допустимой погрешности, то ММ признается адекватной. Оценка величины действительной погрешности и назначение допустимой погрешности составляют сложную задачу.

В качестве общепринятой нормы допустимой погрешности в технологии машиностроения (как и в других технических областях) принимают 10%. Если действительная погрешность больше допустимой, то необходимо вернуться (возможно многократно) к одному из предыдущих этапов разработки модели и внести изменения, добившись, в конечном счете, адекватности модели.

1.4. Погрешности математического моделирования

Между выходными переменными ММ и оригинала всегда существуют различия. Степень различия оценивается (при одинаковых значениях входных переменных) погрешностью моделирования.

Погрешность моделирования может быть оценена абсолютными и относительными показателями.

А

Δ_n=y₁^o-y₁^м;

Δ_n=y₂^o-y₂^м;

_:

Δ_n=y_n^o-y_n^м;

бсолютные показатели (в виде разности значений выходных переменных ММ и оригинала) для каждой из выходных переменных:

Δ_n=|y₁^o-y₁^м|;

Δ_n=|y₂^o-y₂^м|;

_:

Δ_n=|y_n^o-y_n^м|.

(1.5)

имеют достоинства (простота и физическая содержательность) и недостатки (необходимость дополнительно указывать уровень измеряемой величины, а также знак погрешности). Влияние знака можно исключить при использовании абсолютной величины оценки:

(1.6)

Относительные показатели погрешности моделирования описываются выражениями (приведены для абсолютных величин погрешностей по каждой из выходных переменных):

(1.7)

Относительные показатели погрешности часто приводят в процентах. Достоинствами относительных показателей погрешности являются сопоставимость с базовым уровнем переменной и простота использования. Недостатком – определенная потеря физического содержания показателя.

Для получения комплексной оценки погрешности моделирования (в виде абсолютного или относительного показателя) можно использовать преобразование ("свертка") всех (n) частных показателей (Δ_i) с учетом их влияния (в виде "весовых" коэффициентов α_i) на общую оценку результатов моделирования:

(1.8)

Погрешности математического моделирования подразделяются на действительные и допустимые погрешности. Действительная погрешность характеризует реальное различие значений выходных переменных ММ и оригинала, а допустимая – приемлемое (по определенным соображениям) различие переменных при решении конкретной задачи.

Действительная погрешность имеет следующую структуру:

• погрешность исходных данных;

• погрешность создания модели;

• погрешность использования модели;

• погрешность анализа результатов моделирования.

Погрешность исходных данных обусловлена ошибками в процессе измерения величин входных и выходных переменных оригинала с помощью соответствующих измерительных средств, а также ошибками предварительной обработки исходных данных. Ошибки измерения определяются точностью измерительных средств и методами измерения. Ошибки предварительной обработки данных обуславливаются используемыми методами анализа и преобразования исходных данных. Погрешность исходных данных проявляется на всех этапах моделирования и входит в результирующую погрешность моделирования, поэтому её называют наследственной погрешностью.

Погрешности создания ММ обусловлены ошибками, которые могут возникнуть на каждом из этапов создания ММ. При формулировке цели могут быть недостаточно определенно установлены требования к ММ. При идеализации могут быть допущены ошибки при выборе наиболее важных факторов и обосновании принимаемых допущений. При формализации возможны ошибки из-за несоответствия выбора формы ММ, а также при неправильном учете факторов. При идентификации ММ возможны ошибки, обусловленные принятым методом определения значений параметров, а также ошибки вычислений. При проверке адекватности возможны ошибки, обусловленные принятыми методами оценки адекватности, ошибки вычислений и выбора величины допустимой погрешности.

Погрешности использования ММ определяются погрешностями вычислительной техники (применяемой для моделирования), погрешностями методов, погрешностями вычислений. Ошибки вычислительной техники обусловлены технологическими и техническими особенностями вычислительной техники и методов передачи информации.

Погрешности вычислений подразделяются на две разновидности:

• погрешности округления;

• погрешности приближённого представления функций.

Погрешности приближённого представления функций возникают при вычислении значений некоторых функций (тригонометрических, логарифмических, показательных и т.п.) путем приближенного разложения в ряд (например,Тейлора, Фурье).

Погрешности анализа результатов моделирования обусловлены ошибками, которые могут возникать при оценке полученных результатов. Существуют прагматические и семантические ошибки. Прагматические обусловлены неверной оценкой значимости полученных результатов. Семантические обусловлены неверной оценкой содержания полученных результатов.

Общая погрешность моделирования содержит в себе указанные составляющие, которые разделить практически невозможно. Минимальное значение погрешности моделирования не может быть меньше погрешности исходных данных.