1. Основные положения математического моделирования
Математическое моделирование – прикладная наука, изучающая особенности математических моделей, а также математические методы, применяемые в конкретной области (например, в технологии машиностроения).
1.1. Основные понятия математического моделирования
Моделирование - метод исследования, в процессе которого разрабатывают и используют специальный объект (модель), который заменяет исходный объект (оригинал).
Моделирование широко используется в различных областях науки и техники. Все модели подразделяются на физические и абстрактные. Физическая модель построена на основе материальных объектов. Абстрактные модели основаны на использовании отвлеченных идеальных представлений и условно подразделяются на следующие разновидности:
графические;
символьные;
модели искусства.
Основным видом символьных моделей являются математические модели.
Математическая модель – это совокупность математических объектов, с помощью которой можно заменить исходный объект с целью получения новой, достоверной информации.
Например, Pz=Cp∙tx∙Sy∙Vn – математическая модель, заменяющая процесс резания при изучении силового взаимодействия инструмента и заготовки.
Можно сказать, что математическая модель (ММ) - это формула (или несколько формул), которая описывает связь между входными (обычно располагаются в формуле справа от знака равенства) и выходной переменными (в формуле располагается слева от знака равенства).
Входными называют переменные, которые определяют поведение исследуемого объекта. Входные переменные называют также независимыми переменными, аргументами или факторами. Выходными называют переменные, которые характеризуют поведение исследуемого объекта. Их называют также зависимыми переменными, функциями или откликами. Параметрами называют величины, которые определяют особенности поведения (например, интенсивность изменения выходных переменных при изменении входных переменных) исследуемого объекта.
Для ММ вида Pz=Cp∙tx∙Sy∙Vn входными переменными являются кинематические параметры режима резания (глубина резания - t, подача - S, скорость резания - V), выходной переменной является тангенциальная составляющая силы резания (Pz). Параметрами являются коэффициент Cp и показатели степени x, y, n, которые определяют степень влияния режимов резания на силу резания для конкретных условий обработки.
В общем случае входные переменные обозначают x1, x2, …, xn, а выходные y1, y2, …, ym (n - количество входных переменных; m - количество выходных переменных). Оригинал и модель имеют аналогичные входные и выходные переменные (рис. 1.1).
Рис. 1.1. Схематическое представление оригинала и модели
Погрешность моделирования определяется степенью различия выходных переменных оригинала и модели при одинаковых значениях входных переменных оригинала и модели.
Качество ММ может оцениваться по следующим основным свойствам:
универсальность;
экономичность;
точность;
адекватность.
Под универсальностью понимают способность ММ заменять большое количество оригиналов. Экономичность определяется затратами, необходимыми для создания и использования ММ. Точность обуславливается степенью соответствия выходных переменных ММ и оригинала. Адекватность характеризует способность ММ быть заменителем оригинала. Адекватность является основным свойством ММ. Как правило, более универсальные ММ имеют меньшую точность, а более точные ММ имеют меньшую экономичность.