1.1.2 Схема Ейткена
У тому випадку, коли заздалегідь невідомий ступінь багаточлена Лагранжа, який необхідно використовувати для забезпечення необхідної точності, уживають підхід, заснований на рекурентній схемі організації обчислень, яка звісна, як схема Ейткена:
(1.8)
де k=1,2,…...; Pi,i=yi.
При проведенні обчислень поступово підвищується ступінь інтерполяційних багаточленів k за рахунок підключення до обчислення більше вилучених від x вузлів. Рахунок триває доти, поки при фіксованому значенні i зі збільшенням k модуль різниці |Pi,i+до-1(x) - Pi,i+до(x)| не почне зменшуватися.
Таблиця 1.2 - Інтерполяційні багаточлени, які можуть бути використані в схемі Ейткена при обчисленні значення y(x0+) ( < x1-x0)
i |
xi |
yi |
Pi,i+1(x) |
Pi,i+2(x) |
Pi,i+3(x) |
Pi,i+4(x) |
Pi,i+5(x) |
Pi,i+6(x) |
Pi,i+7(x) |
|
0 |
x0 |
y0 |
P0,1(x) |
P0,2(x) |
P0,3(x) |
P0,4(x) |
P0,5(x) |
P0,6(x) |
P0,7(x) |
… |
1 |
x1 |
y1 |
P1,2(x) |
P1,3(x) |
P1,4(x) |
P1,5(x) |
P1,6(x) |
P1,7(x) |
… |
|
2 |
x2 |
y2 |
P2,3(x) |
P2,4(x) |
P2,5(x) |
P2,6(x) |
P2,7(x) |
… |
|
|
3 |
x3 |
y3 |
P3,4(x) |
P3,5(x) |
P3,6(x) |
P3,7(x) |
… |
|
|
|
4 |
x4 |
y4 |
P4,5(x) |
P4,6(x) |
P4,7(x) |
… |
|
|
|
|
5 |
x5 |
y5 |
P5,6(x) |
P5,7(x) |
… |
|
|
|
|
|
6 |
x6 |
y6 |
P6,7(x) |
… |
|
|
|
|
|
|
7 |
x7 |
y7 |
… |
|
|
|
|
|
|
|
… |
… |
… |
|
|
|
|
|
|
|
|
Порядок обчислень: P0,1(x) P1,2(x) P0,2(x) P2,3(x) P1,3(x) P0,3(x) P3,4(x) P2,4(x) P1,4(x) P0,4(x) і т.д.
1.1.3 Кінцеворізницеві інтерполяційні формули
В інтерполяційному багаточлені Лагранжа всі доданки однотипні й відіграють однакову роль в утворенні результату. Подання інтерполяційного багаточлена, у якому, як і в, наприклад, багаточлені Тейлора, доданки розташовувалися б у порядку убування їхньої значимості, отримано шляхом використання кінцевих різниць.
Процес побудови кінцевих різниць описується рекурентною формулою, що виражає кінцеву різницю k-го порядку kyi через різниці (k -1) -го порядку:
kyi= k-1yi+1 k-1yi, (1.9)
де k=1, 2, ..., п і 0уi :=уi.
Вирази кінцевих різниць безпосередньо через значення функції також визначаються рекурентною формулою:
(1.10)
Кінцеві різниці різних порядків для функції f(x) поміщають у таблицю з вузлами й значеннями функції, яка називається таблицею кінцевих різниць.
Для інтерполяції з найбільшою точністю варто застосовувати той ступінь багаточлена k, при якій k-і різниці таблиці кінцевих різниць деякої функції практично постійні.
Виходять із припущення, що функція у = f(x) задана своїми значеннями y0, y1,…,yп на системі рівновіддалених вузлів х0, x1, ..., хn, тобто таких, що будь-який вузол xi цієї сітки можна представити у вигляді xi=x0 + ih, де i = 0,1, ..., п, a h>0 — деяка постійна величина, яка називається кроком сітки.
Інтерполяційний багаточлен Рn(х) будується у формі
(1.11)
Таблиця 1.3 - Таблиця кінцевих різниць
xi |
yi |
yi |
2yi |
3yi |
4yi |
5yi |
x0 |
y0 |
|
|
|
|
... |
y0 |
||||||
x1 |
y1 |
2y0 |
||||
y1 |
3y0 |
|||||
x2 |
y2 |
2y1 |
4y0 |
|||
y2 |
3y1 |
|||||
x3 |
y3 |
2y2 |
4y1 |
|||
y3 |
3y2 |
|||||
x4 |
y4 |
2y3 |
… |
|||
y4 |
... |
|||||
x5 |
y5 |
... |
||||
... |
||||||
... |
… |
Коефіцієнти ak цього подання можуть бути знайдені з вираження
(1.12)
Підставляючи a0, a1 ..., ап в (1.11), одержують багаточлен
(1.13)
який називають першим інтерполяційним багаточленом Ньютона.
Цей багаточлен придатний для інтерполяції навколо вузла x0. Вузол х0 називають базовим для багаточлену (1.13). Уводячи нову змінну q = (x x0)/h багаточлен (1.13) перетворюють у формулу
(1.14)
яка називається першою інтерполяційною формулою Ньютона.
Перша формула Ньютона (1.14) звичайно застосовується при значеннях \q\ < 1, а саме для інтерполяції вперед (при х (x0, x1), тобто при q(0,1)) і екстраполювання назад (при x< x0, тобто при q < 0).
У другому інтерполяційному багаточлені Ньютона
(1.15)
базовим є вузол хп, а коефіцієнти визначаються кінцевими різницями, розташованими на висхідній від уп діагоналі.
Змінна q = (x xn)/h у цьому випадку перетворює (1.15) до другої інтерполяційної формули Ньютона:
(1.16)
Її доцільно використовувати при значеннях \q\ < 1, тобто навколо вузла хп для інтерполяції назад (при q (-1, 0)) і екстраполювання вперед (при q > 0).
Існує кілька формул, розрахованих на їхнє застосування в центральній частині таблиці й тому називаних центральними інтерполяційними формулами.
Вузол x0 розташовується в середині таблиці, інші вузли нумеруються з використанням як позитивних, так і негативних індексів.
Таблиця 1.4 - Таблиця центральних різниць
xi |
yi |
yi |
2yi |
3yi |
4yi |
5yi |
6yi |
|
… |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
x-3 |
y-3 |
|||||||
y-3 |
||||||||
x-2 |
y-2 |
2 y-3 |
||||||
y-2 |
3 y-3 |
|||||||
x-1 |
y-1 |
2 y-2 |
4 y-3 |
|||||
y-1 |
3 y-2 |
5 y-3 |
||||||
x0 |
y0 |
2 y-1 |
4 y-2 |
6 y-3 |
||||
y0 |
3 y-1 |
5 y-2 |
||||||
x1 |
y1 |
2y0 |
4 y-1 |
… |
||||
y1 |
3y0 |
… |
||||||
x2 |
y2 |
2y1 |
… |
|||||
y2 |
… |
|||||||
x3 |
y3 |
… |
||||||
… |
||||||||
… |
… |
Перша інтерполяційна формула Гаусса має вигляд:
(1.17)
Друга інтерполяційна формула Гаусса
(1.18)
Напівсума першого і другого інтерполяційних багаточленів Гаусса після перетворень приводить до формули
(1.19)
яка називається інтерполяційною формулою Стірлінга.
Якщо ж взяти напівсуму другого інтерполяційного багаточлена Гаусса й такого ж багаточлена, але з нижніми індексами, збільшеними на одиницю (тобто з базовою крапкою x1 замість х0), то прийдемо до інтерполяційної формули Бесселя
(1.21)
Якщо підставити значення q = 1/2, що відповідає значенню аргументу x = (х0 + x1)/2, то вийде окремий випадок формули Бесселя, називаний формулою інтерполяції на середину:
(1.22)
Рекомендації з вибору інтерполяційної формули:
Якщо крапка x, у якій потрібно знайти наближене значення функції f(x), перебуває на початку або наприкінці таблиці, застосовується відповідно перша або друга формули Ньютона. Базова крапка вибирається так, щоб значення |q| було якнайменше.
Якщо крапка x перебуває в середині таблиці, то крапку x0 у таблиці центральних різниць фіксують так, щоб q або було за модулем менше 0.25 і тоді застосовують інтерполяційну формулу Стірлінга, або щоб 0.25 |q| 0.75 і використовують формулу Бесселя.