Лабораторна робота №5 чисельне диференціювання

Мета роботи - вивчити кінцеворізницеві формули чисельного диференціювання.

5.1 Короткі теоретичні положення

5.1.1 Обчислення похідної за її визначенням

Нехай функція y=f(х) визначена в деякій околиці крапки х₀ і має похідну в цій крапці, тобто існує межа відношення приросту функції до приросту аргументу при прагненні до нуля:

(5.1)

Значення похідної в крапці х₀ можна одержати, переходячи до межі в (5.1) по послідовності цілих чисел п і припускаючи, наприклад, .Тут -деяке початкове приросту аргументу, а - деяке число, більше одиниці, Тоді значення похідної функції f(х) у крапці запишеться так :

Звідси одержуємо наближену рівність

(5.2)

Для функції в=f(х), що має безперервну похідну до другого порядку включно в околиці крапки х₀, точність наближення похідній співвідношенням (5.2) можна встановити, скориставшись формулою Тейлора

Тоді

і остаточно маємо

Для досягнення заданої точності наближення похідної при певнім числі обчислень можна використовувати нерівність

(5.3)

Приклад. Обчислити похідну функції y=sinx у крапці з точністю ( ).

Рішення. Покладемо , звідки

Визначимо наближене значення похідної

Знайдемо відношення, що апроксимують похідну:

Отже, починаючи із третього наближення, відповідно до оцінки (5.3) одержуємо шукане наближення похідної даної функції з точністю, не менше, ніж задана

5.2 Кінцеворізницеві апроксимації похідних

Нехай відрізок [a,b] розбитий на n (n>2) рівних частин крапками Різниця між сусідніми значеннями аргументу постійна, тобто крок Далі, нехай на відрізку [a,b] визначена функція y=f(х), значення якої в крапках рівні

Запишемо вираження для першої похідної функції в крапці за допомогою кінцевих різниць:

а) апроксимація за допомогою різниць уперед (правих різниць)

(5.4)

б) апроксимація за допомогою різниць назад (лівих різниць)

(5.5)

в) апроксимація за допомогою центральних різниць (крапка є центром системи крапок )

(5.6)

Апроксимація похідної за допомогою центральних різниць являє собою середнє арифметичне співвідношень (5.4) і (5.5) ] крапках

Відзначимо, що співвідношення (5.4) і (5.6) не дозволяють обчислити похідну в крапці х_п=b, а (5.5) і (5.6) - у крапці х₀=а.

Можна показати, що для функції y=f(х), що має безперервну похідну до другого порядку включно, погрішність апроксимації похідних різницями вперед та назад має один і той же порядок 0(h), а погрішність апроксимації центральними різницями (5.6) для функції y=f(х), що має безперервну похідну до третього порядку включно, має порядок .

Наближене значення похідної другого порядку в крапці виразимо через значення функції . Для цього представимо другу похідну за допомогою правої різниці:

а похідні першого порядку й - за допомогою лівих різниць:

і остаточно одержимо

(5.7)

Погрішність останньої апроксимації має порядок для функції y=f(x), що має безперервну похідну до четвертого порядку включно на відрізку[a,b]. Природно, що подання (5.7) за допомогою кінцевих різниць дозволяє обчислювати значення другої похідної тільки у внутрішніх крапках відрізка.