Выбор такта квантования для дискретных регуляторов

Хорошо известно, что качество управления с помощью дискретных регу­ляторов ухудшается с увеличением такта квантования. Объясняется это тем, что при больших значениях такта квантования дискретные выбор­ки сигналов содержат меньше информации, чем непрерывные сигналы. Эквивалентность непрерывного и дискретного сигналов с точки зрения той информации, которая в них содержится, устанавливает теорема Котельникова-Шеннона. Теорема Котельникова-Шеннона утвер­ждает, что если произвольная функция не содержит частот выше _max, то она полностью определяется своими мгновенными значениями, точно измеренными в моменты времени, которые отсчитываются через оди­наковые интервалы

T₀  /_max. (6)

Таким образом, если частотные составляющие непрерывного сигна­ла не выходят из заданной полосы, для выбора периода квантования можно воспользоваться условием (6). Однако реальные сигналы, как правило, зашумлены высокочастотными возмущениями, вследствие чего их невозможно рассматривать как сигналы с ограниченным спект­ром, что затрудняет использование условия (6).

При выборе периода квантования в системах с замкнутым контуром управления учитывают фильтрующие свойства такой системы. Посколь­ку дискретный регулятор должен пропускать без искажений все частоты в полосе пропускания замкнутой системы, граничную частоту _max в выражении (6) рекомендуют выбирать такой, при которой амплитуд­но-частотная характеристика замкнутой системы имеет значение:

. (7)

В общем случае выбор такта, или периода квантования, в цифровой системе управления – достаточно сложная и неоднозначная задача, по­скольку приходится учитывать зачастую противоречивые требования. Так, если период квантования выбрать слишком малым, то существенно возрастает загрузка УВМ, и у нее остается мало времени на выполнение других программ. При слишком большом периоде квантования ухудшается качество регулирования, поэтому в каждом конкретном слу­чае стремятся выбрать наибольшее Т₀ , при котором удовлетворяются заданные требования к точности цифрового процесса регулирования.

Для типовых процессов, характерных для одноконтурных систем управления, полезны следующие рекомендации для выбора периода квантования, полученные на основании практического опыта.

1. Апериодический процесс с доминирующей постоянной времени T:

. (8)

2. Низкочастотный процесс, который достигает 95% от установив­шегося значения за время T₉₅:

. (9)

3. Гармонический процесс с собственной частотой колебаний _c:

. (10)

Дискретное представление дифференциальных уравнений непрерывных пид-регуляторов

Поскольку непрерывные П-, ПИ- и ПИД-регуляторы получили широкое распространение в промышленности, то вполне обоснованно предприни­мались попытки преобразовать их уравнения с помощью дискретизации и использовать для расчета параметров цифровых регуляторов извест­ные методики настройки параметров непрерывных регуляторов. Общее уравнение семейства ПИД-законов управления

, (11)

где x_p(t) – управляющий сигнал; – ошибка регулирова­ния (разность между заданным и измеренным значениями); K_р – коэф­фициент передачи; T_и и T_д – соответственно постоянные интегрирова­ния и дифференцирования.

Для малых тактов квантования Т₀ < 0,01T₉₅ уравнение (11) можно преобразовать в разностное с помощью дискретизации, состоящей в замене производной разностью первого порядка. Интегральную часть можно аппроксимировать методом прямоугольников или трапеций.

При использовании метода прямоугольников получаем:

(12)

(через k обозначен дискретный аргумент kT₀).

Алгоритм управления (12) является не рекуррентным: в нем для формирования суммы необходимо запоминать все предшествующие значения сигнала ошибки x(k). Для программирования на ЭВМ более удобны рекуррентные алгоритмы, в которых для вычисления текущего значения управляющей переменной x_p(k) используется ее предыдущее значение x_p(k – 1) и поправочный член. Запишем выражение (12) для момента времени t = (k – 1)Т₀:

. (13)

После вычитания выражения (13) из выражения (12) получаем рекуррентное уравнение:

, (14)

где ,

, .

В том случае, когда для выполнения операции интегрирования в уравнении (12) используется метод трапеций, вместо разностного урав­нения (13) получается следующее уравнение:

. (15)

Переходя к рекуррентной форме получаем уравнение, описывающее динамику дис­кретного ПИД-регулятора:

, (16)

где ,

, . (17)

Параметры дискретного регулятора q₀, q₁ и q₂ имеют простой физи­ческий смысл. Для этого следует рассмотреть вид переходного процесса на выходе регулятора при подаче на его вход типового воздействия. Рассмотрим сначала дискретный ПИ-регулятор. Ему соответствует раз­ностное уравнение первого порядка:

x_p(k) = x_p(k – 1) + q₀x(k) + q₁x(k – 1). (18)

Пусть сигнал ошибки x(k) представляет собой дискретную ступенчатую функцию (рис. 2 а):

. (19)

Тогда переходный процесс ПИ-регулятора на такое воздействие можно описать следующей системой уравнений:

Реакция дискретного ПИ-регулятора на дискретное ступенчатое воздействие будет аналогична реакции непрерывного ПИ-регулятора на единичное ступенчатое воздействие, если х_p(0) < х_р(1) < х_р(2) < … . Поэтому, если параметр регулятора q₀ > 0, получаем следующее соот­ношение, которому должны удовлетворять параметры q₀ и q₁:

или q₀ + q₁ > 0. (21)

На рис. 2 б показан переходный процесс для дискретного ПИ-ре­гулятора на входное дискретное ступенчатое воздействие. Введем сле­дующие коэффициенты, характеризующие свойства дискретного ПИ-регулятора:

K_p = q₀ – коэффициент передачи;

– коэффициент интегрирования. (22)

С учетом выражения (21) разностное уравнение ПИ-регулятора можно записать в виде:

x_p(k) = x_p(k – 1) + K_p[x(k) + (С_и – 1)x(k – 1)]. (23)

Рис. 2. Типовые сигналы на входе и выходе дискретных регуляторов:

а – входной сигнал; б – выходной сигнал дискретного ПИД-регулятора;

в – выход­ной сигнал дискретного ПИД-регулятора

В частном случае, если параметр q₀ выбрать равным нулю, будет получен дискретный регулятор интегрирующего типа, которому соот­ветствует разностное уравнение:

x_p(k) = x_p(k – 1) + q₁x(k – 1). (24)

Другим частным случаем уравнения (23), если положить С_и = 0 (или q₀ + q₁ = 0), является дискретный П-регулятор:

x_p(k) = x_p(k – 1) + q₀x(k) – q₀x(k – 1). (25)

Обычно используют иное выражение для дискретного П-регулятора:

x_p(k) = q₀x(k). (26)

Эквивалентность выражений (25) и (26) легко установить, если уравнение (26)записать для момента времени (k – 1) и суммировать полученное уравнение с выражением (25).

Переходный процесс для дискретного ПИД-регулятора на входное дискретное ступенчатое воздействие показан на рис. 2 в.

Следует отметить, что для всех рассмотренных выше типов дискрет­ных регуляторов, кроме И-регулятора, начальное значение управляющей переменной х_р(0) при ступенчатом изменении входного сигнала опре­деляется только значением параметра q₀. В реальных регуляторах на величину отклонения управляющей переменной всегда наложено опре­деленное ограничение. Соответствие между начальным значением управ­ляющей переменной и параметром q₀ может быть использовано для проектирования регулятора с учетом допустимого диапазона изменения управляющей переменной.