Свойства пределов

Теорема 1. Предел постоянной функции равен этой постоянной:

Теорема 2. Предел суммы двух функций равен сумме пределов этих функций, если оба предела существуют:

.

Теорема 3. Предел произведения двух функций равен произведению пределов этих функций, если оба предела существуют.

.

Теорема 4. Постоянный множитель можно вынести за знак предела:

.

Теорема 5. Предел отношения двух функций равен отношению пределов этих функций, если оба предела существуют и предел делителя не равен нулю.

.

Замечание. Теоремы 1 – 5 верны как при , так и при .

Бесконечно малые и бесконечно большие функции при и при ., зависимость между ними

Определение 1. Функция называется бесконечно малой при , если .

Определение 2. Функция называется бесконечно малой при , если .

Определение 3. Функция называется бесконечно большой при , если для всех значений х, достаточно близких к , но не равных , функция принимает значения, как угодно большие по абсолютной величине.

Обозначение: .

Определение 4. Функция называется бесконечно большой при , если для всех достаточно больших значений х функция принимает значения, как угодно большие по абсолютной величине.

Определение 5. Функция называется бесконечно большой при , если для всех достаточно больших по абсолютной величине отрицательных значений х функция принимает значения, как угодно большие по абсолютной величине.

Обозначение: или .

Теорема 1. Если функция является бесконечно малой при , то функция является бесконечно большой при (то есть если , то ).

Теорема 2. Если функция является бесконечно большой при , то функция является бесконечно малой при (то есть если , то ).

Правила раскрытия неопределенностей.

1. Если , , то (неопределенности нет).

2. Если и , то для раскрытия неопределенности вида нужно числитель и знаменатель дроби разделить на наивысшую степень аргумента x.

3. Если и , то для раскрытия неопределенности вида нужно разложить числитель и знаменатель дроби на множители и сократить дробь.

4. Для раскрытия неопределенности вида нужно разность функций преобразовать в произведение или частное.

5. Если неопределенность связана с иррациональным выражением, нужно умножить и разделить данное выражение на выражение, сопряженное иррациональному.

6. Иногда для раскрытия неопределенности вида можно использовать один из замечательных пределов.

Замечательные пределы

Первый замечательный предел: .

Следствия: , , .

Второй замечательный предел: .

Следствия: ; ; ,

Замечание: Число e является иррациональным, то есть представляется в виде бесконечной непериодической десятичной дроби:

Непрерывность функции в точке и на промежутке. Непрерывность суммы, произведения, частного двух функций

Определение 1. Число называется левым пределом функции при , если для всех значений х, достаточно близких к и меньших, чем , значения как угодно мало отличаются от .

Определение 2. Число называется правым пределом функции при , если для всех значений х, достаточно близких к и больших, чем , значения как угодно мало отличаются от .

Обозначения: ; .

Определение 3. Функция называется непрерывной в точке , если левый и правый пределы при конечные, равны между собой и равны значению функции в точке : .

Определение 4. Функция f(x) называется непрерывной на данном промежутке, если она непрерывна в каждой точке этого промежутка.

Теорема 1. Если функции и непрерывны на промежутке , то функция тоже непрерывна на промежутке .

Теорема 2. Если функции и непрерывны на промежутке , то функция тоже непрерывна на промежутке .

Теорема 3. Если данные функции и непрерывны на промежутке и на промежутке , то функция тоже непрерывна на промежутке .

Пример 1. Исследовать на непрерывность и точки разрыва функцию

Решение. Так как на промежутках и данная функция совпадает с непрерывными функциями, и , то она непрерывна на этих промежутках.

Чтобы установить, является ли точка точкой разрыва, и определить тип разрыва, вычислим пределы:

, .

Теперь вычислим значение функции в точке : .

Так как , то в точке функция непрерывна.

Ответ. Данная функция непрерывна на промежутке .