Свойства бинарных отношений

1. Рефлексивность. Бинарное отношение R рефлексивно, если для любого элемента данное бинарное отношение выполняется, т.е. .

Матрица рефлексивного бинарного отношения на главной диагонали содержит только единицы, так как отношение выполняется для всех пар , а им соответствуют элементы главной диагонали.

2. Антирефлексивность. Бинарное отношение R антирефлексивно, если для каждого элемента не выполняется бинарное отношение .

Из определения антирефлексивности бинарного отношения следует, что его матрица на главной диагонали содержит только нули.

3. Симметричность. Отношение R симметрично, если для любой пары бинарное отношение выполняется в обе стороны: из следует .

Учитывая, что отношение R для любой пары выполняется в обе стороны, либо не выполняется вообще , матрица симметричного отношения симметрична относительно главной диагонали.

4. Антисимметричность. Бинарное отношение R антисимметрично, если ни для каких различных элементов a и b не выполняются одновременно условия и .

В матрице антисимметричного бинарного отношения отсутствуют единицы, симметричные относительно главной диагонали

5. Транзитивность. Бинарное отношение R транзитивно, если для любых элементов а ,b, с из условий и следует .

Типы отношений

Отношением эквивалентности (эквивалентностью) называют бинарное отношение, если оно обладает свойствами рефлексивности, симметричности и транзитивности.

Эквивалентность R разбивает множество М, на котором оно задано, на непересекающиеся подмножества, причем для элементов одного и того же подмножества отношение R выполняется, а между элементами разных подмножеств заданное отношение отсутствует. В этом случае говорят, что отношение R задает разбиение на множестве М, или, другими словами, задает систему классов эквивалентности.

Отношением нестрогого порядка называют бинарное отношение, если оно обладает свойствами рефлексивности, антисимметричности и транзитивности.

Отношением строгого порядка называют бинарное отношение, если оно антирефлексивно, антисимметрично и транзитивно.

В результате задания отношения порядка на множестве М оно может быть:

1) полностью упорядоченным. Между двумя любыми элементами множества М можно задать отношение порядка

2) частично упорядоченным, когда бинарное отношение не может быть задано между двумя любыми элементами множества, т.е. когда элементы множества не сравнимы по данному отношению.

10. Определения и свойства пределов функции при и при .

Правила раскрытия неопределенностей. Замечательные пределы.

Непрерывность функции в точке и на промежутке. Непрерывность суммы, произведения и частного двух функций. Типы точек разрыва.

Вертикальные, горизонтальные и наклонные асимптоты графика функции, их нахождение.

Предел функции при и при . Свойства пределов

Определение 1. Число b называется пределом функции при , если для всех значений х, достаточно близких к , но не равных , значения как угодно мало отличаются от b.

Определение 2. Число b называется пределом функции при , если для всех достаточно больших значений х значения как угодно мало отличаются от b.

Определение 3. Число b называется пределом функции при , если для всех достаточно больших по абсолютной величине отрицательных значений х значения как угодно мало отличаются от b.