6. Действия над комплексными числами в тригонометрической и показательной формах
1. При умножении комплексных чисел в тригонометрической или показательной форме модули этих чисел нужно перемножить, а аргументы сложить:
;
.
2. При делении комплексных чисел в тригонометрической или показательной форме нужно модуль делимого разделить на модуль делителя и из аргумента делимого вычесть аргумент делителя:
;
3. При возведении комплексного числа в степень в тригонометрической или показательной форме нужно модуль числа возвести в эту степень, а аргумент умножить на показатель степени.
.
Замечание. Умножение, деление и возведение в степень комплексных чисел в показательной форме производятся так же, как умножение, деление и возведение в степень степеней, что делает показательную форму комплексных чисел особенно удобной для выполнения этих действий.
Пример 14. Вычислить произведение
и частное чисел
и
Решение
.
.
Ответ:
,
.
Пример 15. Вычислить:
Решение.
.
Ответ:
.
Пример 16. Вычислить:
.
Решение.
Ответ:
.
Пример 17. Вычислить:
.
Решение.
.
Ответ:
.
Пример 18. Вычислить:
.
Решение.
Ответ:
Пример 19. Вычислить
.
Решение. Представим основание
степени в показательной форме. Так как
,
то
.
Так как
,
,
то
(см. таблицу 1). Получаем:
.
Тогда
,
поэтому
.
Теперь представим результат в алгебраической форме.
.
Ответ:
Указание. Если в результате
произведенных действий получается
число, аргумент которого не удовлетворяет
условию
,
то нужно прибавить к нему (или вычесть
из него)
столько раз, чтобы нужное условие
выполнилось.
7. Множества. Операции над множествами, их свойства
Множеством называют совокупность объектов, объединенных по определенному признаку. О множестве известно, что оно состоит из элементов.
Множества обозначают заглавными буквами латинского алфавита: А, В, С,... с индексами или без них.
Элементы
множества обозначают малыми латинскими
буквами: a,
b,
с,
..., y,
z,
… в случае, если речь идет о множестве
вообще, или же за ними сохраняют конкретные
обозначения. Принадлежность элемента
а
к множеству M
записывается так:
(читается «а
принадлежит M»).
Непринадлежность
элемента к множеству M
обозначается так:
(читается «b
не принадлежит M»).
Способы задания множеств:
• Перечислением всех объектов, входящих в множество. Таким способом можно задать лишь конечные множества. Обозначение—список в фигурных скобках. Например, множество натуральных чисел, делителей числа 6: = {1, 2, 3, 6}.
• Описанием характеристических свойств, которыми обладают все элементы множества. Обозначается: A = {x| P(x)} или A = {x: P (x)}.
Например, множество A = {1, 2, 3, 6} можно записать и таким образом:
A = {х| х – натуральное число, делитель числа 6}.
Свойство Р состоит в том, что объект есть натуральное число, на которое делится число 6.
Множество
А
называют подмножеством
множества
В,
если каждый элемент множества A
является элементом множества В.
Обозначается
.
Например:
А
= {1, 2, 4}, B
= {1, 2, 4 , 8, 12, 16}. А 
В.
Среди
всех множеств выделяют пустое
множество
и универсальное
множество
U.
Пустым множеством называется множество, которое не содержит ни одного элемента. Принято считать, что пустое множество является подмножеством любого множества.
Универсальным множеством называется такое множество, что все рассматриваемые множества являются его подмножествами.
Два
множества называются равными, если
каждое из них является подмножеством
другого (т.е. если они состоят из одних
и тех же элементов): А
= В
и
.