Геометрическое представление комплексных чисел

К омплексное число можно изобразить на координатной плоскости в виде точки или вектора .

Определение 9. Длина вектора, изображающего комплексное число , называется модулем комплексного числа и обозначается .

Определение 10. Величина направленного угла между осью абсцисс и вектором , изображающим комплексное число, называется аргументом комплексного числа и обозначается .

Замечание. Если угол – один из аргументов числа , то любой угол вида тоже является аргументом числа . Поэтому для определенности в дальнейшем будем считать, что .

Если даны модуль и аргумент комплексного числа, то его действительную и мнимую части можно найти по формулам

Если даны действительная и мнимая части комплексного числа, то его модуль можно найти по формуле , а аргумент – по его координатной четверти и по значению одной из его тригонометрических функций: , , .

Аргумент комплексного числа можно найти также с помощью таблицы 1.

Таблица 1. Вычисление аргумента комплексного числа

Знак	Знак	Формула для вычисления аргумента	Знак	Знак	Формула для вычисления аргумента

Пример 9. Найти модуль и аргумент комплексного числа .

Решение. Из условия находим: , .

Тогда по формуле получаем .

Так как и , то по таблице 1 находим формулу .

Тогда .

Ответ: , .

Пример 10. Найти действительную и мнимую части комплексного числа, зная его модуль и аргумент .

Решение. По формулам находим:

Ответ: , .

5. Алгебраическая, тригонометрическая и показательная формы комплексного числа. Переход от одной формы комплексного числа к другой

Комплексное число представимо в одной из трех форм:

­– алгебраическая форма комплексного числа;

­– тригонометрическая форма комплексного числа;

­– показательная форма комплексного числа.

Если комплексное число задано в показательной или тригонометрической форме, то его действительную и мнимую части можно найти по формулам

Если комплексное число задано в алгебраической форме, то его модуль можно найти по формуле , а аргумент – по таблице 1, приведенной в параграфе 2.

Пример 11. Представить данное число в тригонометрической и показательной форме, найти его действительную и мнимую части, модуль и аргумент.

Решение. Число задано в алгебраической форме. Из условия находим действительную и мнимую части числа: , .

Найдем модуль и аргумент данного числа:

Так как , то для вычисления аргумента в таблице 1 находим формулу , по которой получаем:

или (радиан).

Ответ: Действительная часть числа z .

Мнимая часть числа z .

Модуль числа z .

Аргумент числа z .

Тригонометрическая форма числа: или

.

Показательная форма числа: или .

Указания по вычислению аргумента с помощью инженерного микрокалькулятора

1. Для вычисления значения аргумента в градусах, минутах и секундах нужно:

1) нажатием клавиши DRG выбрать градусную меру угла (на индикаторе должна появиться запись DEG ‒ градусы);

2) ввести число 1,875;

3) нажать клавиши 2ndF и tan (выполнится команда tan^-1, то есть ); на индикаторе появляется число 61,92751306 – это , то есть значение угла , в градусах и десятичных долях градусов;

4) нажать клавиши 2ndF и DEG (выполнится команда →D.MS – перевод градусов и их десятичных долей в градусы, минуты и секунды). На индикаторе появляется число 61,55390470 – это значение угла в градусах, минутах и секундах: целая часть числа – это количество градусов, первая и вторая цифры дробной части – это количество минут, третья и четвертая цифры дробной части – это количество секунд. Таким образом, .

Замечание. Обычно все вычисления с помощью калькулятора производятся без переписывания промежуточных результатов на бумагу. В данном случае алгоритм вычисления аргумента такой (каждая ячейка таблицы обозначает клавишу МК):

1

5

/

8

=

2ndF

tan

+/‒

+

1

8

0

=

2ndF

DEG

Алгоритм вычисления модуля числа имеет вид:

8

x2

+

1

5

x2

=

√

2. Чтобы вычислить значение аргумента в радианах, нужно:

1) нажатием клавиши DRG выбрать радианную меру угла (на индикаторе должна появиться запись RAD – радианы);

2) набрать число 1,875;

3) нажать клавиши 2ndF и tan (выполнится команда tan^-1, то есть ). На индикаторе появляется число 1,08083900– это значение угла в радианах. Его можно округлить с желаемой степенью точности. Например, .

Замечание. Алгоритм вычисления аргумента без переписывания промежуточных результатов на бумагу такой:

1

5

/

8

=

2ndF

tan

+/‒

+

2ndF

EXP

=

Пояснение. Нажатием клавиш 2ndF и EXP вводят значение константы .

Пример 12. Представить число в алгебраической и показательной форме, найти его действительную и мнимую части, модуль и аргумент.

Решение. Число задано в тригонометрической форме. Из условия находим его модуль и аргумент: , .

По формулам находим действительную и мнимую части данного числа.

Получаем:

,

.

Ответ: Действительная часть числа : .

Мнимая часть числа : .

Модуль числа : .

Аргумент числа : .

Показательная форма числа: .

Алгебраическая форма числа:

Указания по вычислению значений и с помощью инженерного микрокалькулятора

1) Поскольку аргумент задан в градусах и минутах, нажатием клавиши DRG выбрать градусную меру угла (на индикаторе должна появиться запись DEG ‒ градусы).

2) Ввести число 132.17 – это значение аргумента в градусах и минутах.

3) Нажать клавишу DEG . Выполнится команда перевода градусов, минут, секунд в градусы и их десятичные доли; на индикаторе появится число 132,2833333 – это значение аргумента в градусах и десятичных долях градусов.

4) Нажать клавишу cos (вычислится ). На индикаторе появляется число – 0,672797335 (значение ).

5) Не переписывая это число на бумагу, нажать клавишу «умножить»; ввести число 13,6; нажать клавишу «равно»; полученный результат округлить до нужного числа десятичных знаков.

Алгоритм вычисления числа на МК такой:

1

3

2

.

1

7

DEG

cos

x

1

3

.

6

=

Значение вычисляется точно так же:

1

3

2

.

1

7

DEG

sin

x

1

3

.

6

=

Пример 13. Представить число в тригонометрической и алгебраической формах, найти его действительную и мнимую части, модуль и аргумент.

Решение. Число задано в показательной форме. Из условия находим его модуль и аргумент: , (радиан).

Действительную и мнимую части данного числа по формулам:

,

.

Ответ: Действительная часть числа : .

Мнимая часть числа : .

Модуль числа : .

Аргумент числа : .

Тригонометрическая форма числа: .

Алгебраическая форма числа: .

Указания по вычислению значений и с помощью инженерного микрокалькулятора

1) Так как аргумент задан в радианах, нажатием клавиши DRG выбрать радианную меру угла (на индикаторе должна появиться запись RAD ‒ радианы).

2) Ввести число 1.27 – это значение аргумента в радианах.

3) Нажать клавишу cos (вычислится ). На индикаторе появится число 0,296280872 (значение ).

4) Не переписывая это число на бумагу, нажать клавишу «умножить»; ввести число 5,83; нажать клавишу «равно»; полученный результат округлить до нужного числа десятичных знаков.

Алгоритм вычисления числа на МК такой:

1

.

2

7

cos

x

5

.

8

3

=

Значение вычисляется точно так же:

1

.

2

7

sin

x

5

.

8

3

=