3. Решение системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными методом Крамера
Пусть дана система
уравнений вида
Введем в рассмотрение
следующие определители:
;
;
;
.
При решении системы возможны следующие случаи.
1. Если
,
то данная система имеет единственное
решение
;
его можно найти по формулам
,
которые называются формулами Крамера.
2. Если
,
то решить данную систему методом Крамера
нельзя.
В этом случае система или не имеет решений (такая система называется несовместной) или имеет бесконечное множество решений (такая система называется неопределенной). Для более детального исследования и нахождения общего решения системы можно использовать, например, метод Гаусса.
Пример. Решить систему
уравнений:
Решение. Сначала вычислим главный определитель системы:
Так как , то данную систему можно решить по формулам Крамера.
Вычислим остальные определители:
Теперь по формулам Крамера находим:
Ответ:
.
Решение систем трех линейных уравнений с тремя переменными методом Гаусса
Суть метода Гаусса рассмотрим на конкретном примере.
Пример.
Решить систему уравнений:
(1).
Решение делится на две части, называемые прямым ходом и обратным ходом.
Прямой ход. Данная система приводится к треугольному виду поэтапно методом алгебраического сложения.
На первом этапе
исключим из второго и третьего уравнений
системы (1) слагаемые, содержащие
переменную
.
Лучше использовать в обоих случаях одно
и то же уравнение (мы возьмем первое).
Получаем: |
|
|
Первое уравнение системы (1) перепишем без изменений, а второе и третье уравнения заменим полученными уравнениями. Система (1) примет вид:
|
(2) |
На втором этапе
исключим из третьего уравнения системы
(2) слагаемое, содержащее переменную
.
Используем для этого второе уравнение.
Получаем:
Первые два уравнения системы (2) перепишем без изменения, а третье уравнение заменим полученным уравнением. Получаем систему треугольного вида:
|
(3) |
Обратный ход. Последовательно находим значения неизвестных, начиная с третьего уравнения.
Из третьего
уравнения системы находим значение
переменной
:
.
Подставив найденное
значение
во второе уравнение системы, получаем
,
откуда находим значение переменной
:
.
Подставив найденные
значения
и
в первое уравнение системы, получаем
,
откуда находим значение переменной
:
.
Ответ: .
4. Определение комплексного числа. Действия над комплексными числами в алгебраической форме. Геометрическое представление комплексных чисел
Определение 1. Мнимой единицей
называется число
,
квадрат которого равен минус единице:
.
Определение 2. Комплексным
числом называется число вида
,
где
и
‑ действительные числа,
‑ мнимая единица.
Число
называется действительной частью
комплексного числа
и обозначается
.
Число
называется мнимой частью комплексного
числа
и обозначается
.
(Обратите внимание, что мнимая часть
комплексного числа – число действительное).
Пример 1.
Замечания:
1. Если
,
то комплексное число
является действительным числом.
Это значит, что любое действительное число можно считать комплексным числом, мнимая часть которого равна нулю, то есть множество действительных чисел является подмножеством множества комплексных чисел.
2. Если
,
то число
имеет вид
.
Такое число называется чисто мнимым.
3. Число вида
называется комплексным нулем или
просто нулем и обозначается
.
Определение 3. Два
комплексных числа
и
называются равными,
если их действительные части равны и
их мнимые части равны:
.
Пример 2.
,
так как
и
.
Замечание. Понятия «больше» и «меньше» на множестве комплексных чисел не определены.
Определение 4. Суммой комплексных
чисел
и
называется число
.
Пример 3.
.
Определение 5. Разностью
комплексных чисел
и
называется комплексное число
,
которое в сумме с вычитаемым дает
уменьшаемое:
.
Можно доказать, что разность комплексных
чисел
и
вычисляется по правилу
.
Пример 4.
.
Определение 6. Произведением
комплексных чисел
и
называется комплексное число
.
Пример 5.
Определение 7.
Отношением
комплексных чисел
и
называется комплексное число
,
которое в произведении с делителем дает
делимое:
.
Пример 6. Вычислить отношение
.
Так как искомое отношение является комплексным числом, то обозначим его так:
.
Из определения 7 следует, что
.
Перемножив числа в правой части равенства,
получаем:
.
Согласно определению 3, это уравнение равносильно системе уравнений:
Решим эту систему по формулам Крамера.
, 
,
.
,
.
Окончательно получаем:
,
что полностью соответствует вычислениям
в примере 5:
Определение 8. Комплексное число
называется сопряженным комплексному
числу
.
Замечание. Так как
,
то числа
и
обычно называют взаимно сопряженными.
Пример 7. а)
;
б)
;
в)
; г)
д)
;
е)
.
Вычислим произведение взаимно сопряженных комплексных чисел:
,
или
.
Таким образом, произведение взаимно
сопряженных комплексных чисел является
действительным (и даже положительным
при
)
числом.
Это свойство позволяет более удобным способом, чем по определению, находить отношение комплексных чисел. При делении комплексных чисел лучше сначала умножить делимое и делитель на число, сопряженное делителю, а затем произвести деление:
.
Пример 8. Вычислим еще раз отношение , используя свойство сопряженных чисел:
Окончательно получаем:
Практические рекомендации:
Сумму, разность и произведение комплексных чисел можно найти так же, как сумму, разность и произведение многочленов, учитывая только, что .
При делении комплексных чисел удобнее сначала умножить делимое и делитель на число, сопряженное делителю, а затем уже выполнить деление.