Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами – это уравнения вида
|
|
(*) |
где – искомая функция, a, b, c – действительные числа.
Общее решение такого уравнения можно найти, используя приведенный ниже алгоритм.
1. На множестве
комплексных чисел найти корни
и
характеристического уравнения данного
дифференциального уравнения
.
Записать общее решение уравнения (*) в одном из видов:
а) если
и
– действительные
числа и
,
то
;
б) если
и
– действительные
числа и
,
то
;
в) если
и
– комплексные
числа вида
,
то
;
Пример 1. Найти общее решение
дифференциального уравнения
.
Решение
1) На множестве комплексных чисел найдем корни уравнения
.
Используя формулу
,
получаем
,
2) по пункту 2в алгоритма при
,
получаем общее решение дифференциального
уравнения в виде
Ответ: .
Пример 2. Найти общее решение
дифференциального уравнения
.
Решение
1) На множестве комплексных чисел найдем корни уравнения
.
,
2) по пункту 2в алгоритма при
,
получаем общее решение дифференциального
уравнения в виде
Ответ: .
Аналоги практических заданий к экзамену по математике
Задание 1. Вычислить предел
.
.
Задание 2. Вычислить предел
.
.
Задание 3. Вычислить предел
.
.
Задание 4. Вычислить предел
.
.
Задание 5. Вычислить предел
.
.
Задание 6. Вычислить предел
.
.
Задание 7. Вычислить предел
.
.
Использован замечательный предел
при
.
Задание 8. Вычислить предел
.
.
Использован замечательный предел
при
.
Задание 9. Вычислить предел
.
.
Использован замечательный предел
при
и при
.
Задание 10. Вычислить предел
.
.
Использованы формула
при
,
и замечательный предел
при
и
.
Задание 11. Вычислить предел:
.
.
Использован замечательный предел
при
.
Задание 12. Вычислить предел:
.
.
Использован замечательный предел
при
.
Задание 13. Вычислить предел:
.
.
Использован замечательный предел
при
.
Задание 14. Исследовать на непрерывность функцию
Решение. Функция
непрерывна на промежутках
и
,
так как совпадает на этих промежутках
соответственно с непрерывными функциями
и
.
Точкой разрыва может быт Решение.
Функция
непрерывна на промежутках
и
,
так как совпадает на этих промежутках
соответственно с непрерывными функциями
и
.
Точкой разрыва может быть только точка
.
Так как
,
то точка
является точкой разрыва второго рода.
Ответ: данная функция непрерывна на промежутках и ; точка является точкой разрыва второго рода.
ь только точка
.
,
,
.
Так как
,
то в точке
функция
непрерывна.
Ответ: данная функция непрерывна
на промежутке
.
Задание 15. Исследовать на непрерывность функцию
Решение. Функция непрерывна на промежутках и , так как совпадает на этих промежутках соответственно с непрерывными функциями и . Точкой разрыва может быть только точка .
Так как , то точка является точкой разрыва второго рода.
Ответ: данная функция непрерывна на промежутках и ; точка является точкой разрыва второго рода.
Задание 16. Исследовать на непрерывность функцию
Решение. Функции
и
непрерывны на промежутке
,
при
и при
,
поэтому функция
непрерывна на промежутках
,
и
.
Точки и являются точками разрыва, так как в этих точках функция не определена. Определим тип разрыва в каждой из них.
Так как
,
то точка
является точкой разрыва второго рода.
Та как
,
то есть
и
конечные и равные, то точка
является точкой устранимого разрыва.
Ответ: данная функция непрерывна на промежутках , и ; ‒ точка разрыва второго рода, ‒ точка устранимого разрыва.
Задание 17. Составить уравнения
асимптот кривой
.
Решение. Так как
,
то есть точка
является точкой разрыва второго рода
функции
,то
прямая
является вертикальной асимптотой данной
кривой.
Так как существуют конечные пределы
и
,
то прямая
,
то есть
,
является наклонной асимптотой данной
кривой.
Ответ: асимптотами данной кривой
являются прямые
и
.
Задание 18. Вычислить
,
если
.
Решение
Ответ:
.
Задание 19. Вычислить
,
если
.
Задание 20. Вычислить
,
если
.