Вычисление определенного интеграла по формуле Ньютона-Лейбница

Теорема. Если функция непрерывна на отрезке и – одна из её первообразных на этом отрезке, то справедлива формула

.

Эта формула называется формулой Ньютона – Лейбница. Для большего удобства вычислений её обычно записывают в виде

.

Пример. Вычислить интеграл

Решение:

Вычисление определенного интеграла подстановкой

Алгоритм рассмотрим на конкретном примере.

Пример. Вычислить интеграл .

1. Ввести новую переменную:

2. Найти дифференциал новой переменной:

.

3. Из предыдущего равенства выразить дифференциал старой переменной: .

Замечание. В данном случае удобнее сразу получить .

4. Найти новые пределы интегрирования:

, .

5. Произвести замену переменной под знаком интеграла и замену пределов интегрирования: .

6. Вычислить интеграл от новой переменной по формуле Ньютона – Лейбница (к старой переменной возвращаться не нужно):

.

Ответ: .

Вычисление определенного интеграла по частям

Если подынтегральную функцию можно представить в виде произведения двух функций, то определенный интеграл можно вычислить по формуле (**).

Пример. Вычислить интеграл .

Решение. Обозначим , .

Тогда , т.е ,

(считаем ).

По формуле (**) получаем:

.

Ответ: .

Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям

Пример 1. Тело движется прямолинейно со скоростью . Найти закон движения тела, если к моменту тело прошло путь .

Решение.

Закон прямолинейного движения тела имеет вид , где – путь (в метрах), пройденный телом за промежуток времени от момента 0 секунд до момента секунд.

Согласно физическому смыслу первой производной, , поэтому из условия следует, что , то есть функцию нужно найти из уравнения . (Это уравнение называется дифференциальным уравнением первого порядка).

Получаем: , или , где C - постоянная интегрирования, то есть любое число или выражение с любыми переменными, кроме переменной x.

(Полученная функция называется общим решением данного дифференциального уравнения).

Для нахождения конкретного значения константы C используем условие при , то есть .

Из уравнения получаем:

.

Т. к. и , то , поэтому .

Подставив в уравнение , получаем решение данной задачи: . Эта функция называется частным решением данного дифференциального уравнения.

Основные понятия

Определение 1. Дифференциальным уравнением называется уравнение, в котором неизвестной является некоторая функция, при условии, что уравнение содержит хотя бы одну производную искомой функции.

Определение 2. Порядком дифференциального уравнения называется порядок входящей в это уравнение старшей производной искомой функции.

В общем случае дифференциальное уравнение n-го порядка можно представить в виде , где – искомая функция.

Примеры:

– дифференциальное уравнение первого порядка;

– дифференциальное уравнение третьего порядка.

Определение 3. Решением дифференциального уравнения называется функция, при подстановке которой в уравнение вместо неизвестной функции это уравнение превращается в тождество относительно независимой переменной.

Замечание. Общее решение дифференциального уравнения n-го порядка содержит n произвольных постоянных, то есть имеет вид .

Давая постоянным различные конкретные значения, из общего решения получают различные частные решения.

Частные решения дифференциального уравнения, которые не получаются из общего решения ни при каких значениях постоянных , называются особыми решениями дифференциального уравнения.

Определение 4. Интегральной кривой дифференциального уравнения называется график любого его частного решения.

Определение 5. Задача Коши для дифференциального уравнения n-го порядка состоит в нахождении его частного решения , удовлетворяющего условиям , , , … , , где – данные числа.

Условия , , , … , называются начальными условиями задачи Коши.