Точки минимума и точки максимума функции. Достаточные условия экстремума функции

Теорема (достаточные условия экстремума функции).

Пусть функция определена и непрерывна в некоторой окрестности точки и имеет производную во всех точках этой окрестности, кроме, может быть, самой точки . Тогда:

если при переходе через точку производная меняет знак с минуса на плюс, то ‒ точка минимума;

если при переходе через точку производная меняет знак с плюса на минус, то ‒ точка максимума;

если при переходе через точку производная не меняет знак, то в точке экстремума нет.

Исследование функции с помощью производных на выпуклость и точки перегиба графика

Определение 1. График функции называется выпуклым вверх (или просто выпуклым) на данном интервале, если касательная к нему в каждой его точке расположена выше графика. График функции называется выпуклым вниз (или вогнутым) на данном интервале, если касательная к нему в каждой его точке расположена ниже графика.

Определение 2. Точка графика функции называется точкой перегиба графика, если по одну сторону от этой точки график является выпуклым вверх, а по другую сторону выпуклым вниз.

Теорема 1 (достаточные условия выпуклости графика).

Пусть функция имеет на интервале производную . Тогда:

если при любом значении , то график функции является выпуклым вниз на интервале ;

если при любом значении , то график функции является выпуклым вверх на интервале .

Замечание. Если при любом значении , то является линейной функцией на интервале , то есть ее график является прямой линией или ее частью (отрезком, лучом). Выпуклым он в этом случае не называется.

Теорема 2 (достаточное условие перегиба графика).

Пусть функция имеет на интервале непрерывные производные и . Тогда:

если при переходе через точку вторая производная меняет знак, то ‒ абсцисса точки перегиба графика;

если при переходе через точку вторая производная не меняет знак, то в точке перегиба у графика нет.

Исследование функции на асимптоты графика

Теорема 1. Если – точка разрыва второго рода функции , то есть , то прямая является асимптотой кривой .

Теорема 2. Если существуют конечные пределы и , то прямая является асимптотой кривой .

Замечание. Прямая называется вертикальной асимптотой, так как она перпендикулярна оси абсцисс. В отличие от нее прямая называется наклонной асимптотой. Если , то прямая параллельна оси ординат, поэтому такую асимптоту можно назвать горизонтальной.

Пример. Найти асимптоты кривой .

Решение. Так как при и , а при этих значениях, то и , то есть точки и являются точками разрыва второго рода данной функции, поэтому прямые и являются вертикальными асимптотами ее графика.