Применение дифференциала функции для приближенных вычислений

Определение. Дифференциалом функции в точке называется произведение , где ‒ приращение аргумента.

Теорема. Если , то при малых значениях приращения аргумента функции ее дифференциал является главной частью ее приращения.

По определению производной .

По определению предела функции из этого равенства следует, что , где -- бесконечно малая функция при , то есть .

Если , то .

Это значит, что при малых значениях слагаемое пренебрежимо мало в сравнении со слагаемым , то есть можно считать, что , или .

Теорема доказана.

Замечание. Из равенства получаем:

.

Эту формулу используют для приближенных вычислений значений функции. На практике ее удобнее представить в виде

,

где выражение и значение определяются условием задания, а значение выбирается произвольно с учетом двух условий: во-первых, должно как можно меньше отличаться от , во-вторых, значения и должны легко вычисляться без таблиц или калькулятора.

Пример. Вычислить приближенно .

Решение

, .

Пусть . Тогда ,

,

.

Ответ:

Для сравнения: вычисления на микрокалькуляторе дают результат

Производные высших порядков. Формула Тейлора

Для более точных вычислений значений функции используют формулу Тейлора:

или формулу Маклорена (получается из формулы Тейлора при ):

При этом предполагается, что данную функцию можно дифференцировать бесконечно много раз.

По определению, , то есть -я производная данной функции – это производная ее -й производной.

Типы монотонности функции. Достаточные условия монотонности функции

Определение 1. Функция называется возрастающей на данном промежутке, если для любых двух значений аргумента, взятых из этого промежутка, большему значению аргумента соответствует большее значение функции.

Определение 2. Функция называется убывающей на данном промежутке, если для любых двух значений аргумента, взятых из этого промежутка, большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

Определение 3. Функция называется постоянной на данном промежутке, если для любого значения аргумента, взятого из этого промежутка, функция принимает одно и то же значение.

Теорема 1 (достаточное условие монотонности функции).

Пусть функция имеет на интервале производную . Тогда:

если при любом значении , то возрастает на интервале ;

если при любом значении , то убывает на интервале ;

если при любом значении , то является постоянной на интервале .

Точки минимума и точки максимума функции. Необходимое условие экстремума функции

Определение 4. Точка называется точкой локального минимума функции , если для всех значений , достаточно близких к и не равных , выполняется условие .

Определение 5. Точка называется точкой локального максимума функции , если для всех значений , достаточно близких к и не равных , выполняется условие .

Определение 6. Точка называется точкой экстремума функции , если она является точкой минимума или точкой максимума.

Теорема 2 (необходимое условие экстремума функции). Если точка является точкой экстремума функции и значение определено, то .

Замечание. Может оказаться, что в точке экстремума производная не определена.

Определение 6. Точка называется критической точкой первого рода функции , если или значение не определено.

Замечание. В критической точке первого рода функция может иметь экстремум, но не обязательно.