Ответы на теоретические вопросы программы экзамена по математике за 3 семестр

1. Матрицы. Действия над матрицами, их свойства

Определение 1. Матрицей размерности m*n называется прямоугольная таблица, содержащая m*n чисел , расположенных в m строках и n столбцах.

Обозначение: или .

Числа называются элементами матрицы. Числа и называются индексами элемента ; ‒ номер строки, ‒ номер столбца, на пересечении которых расположен элемент ; ; .

Если , то матрица называется квадратной матрицей порядка n.

Определение 2. Матрицы и называются равными, если они имеют одинаковые размерности m*n и их одинаково расположенные элементы попарно равны, то есть ( ; ).

Пример 1. .

Определение 3. Суммой матриц и одинаковой размерности называется матрица такой же размерности, элементы которой равны суммам соответствующих элементов данных матриц:

( ; ).

Пример 2. .

Определение 4. Произведением матрицы A на число k называется матрица B, каждый элемент которой равен произведению соответствующего элемента матрицы A на число k:

( ; ).

Пример 3. .

Определение 5. Пусть матрица имеет размерность m*n, а матрица имеет размерность n*p. Произведением матриц A и B называется матрица размерности m*p, каждый элемент которой вычисляется по формуле

( , ).

Замечание. Чтобы матрицу A можно было умножить на матрицу B, число столбцов матрицы A обязательно должно быть равно числу строк матрицы B. Количество строк матрицы равно количеству строк матрицы А, количество столбцов матрицы равно количеству столбцов матрицы B. Каждый элемент , расположенный на пересечении i-й строки и j-го столбца матрицы C, равен сумме произведений элементов i-й строки матрицы A и j-го столбца матрицы B.

Пример 4. Пусть , . Тогда

.

Замечание. В данном случае произведение не определено, так как количество столбцов матрицы B не равно количеству строк матрицы A.

Пример 5. , .

Так как A и B ‒ квадратные матрицы одного порядка, то можно найти и произведение , и произведение .

,

.

В данном примере , то есть умножение матриц, вообще говоря, не коммутативно (не обладает свойством переместительности). Но в некоторых случаях равенство бывает верным. В таких случаях матрицы называются перестановочными.

Пример 6. , .

,

.

В данном случае матрицы A и B являются перестановочными.

Замечание 1. Матрица называется единичной матрицей второго порядка. При умножении матриц единичная матрица играет такую же роль, как число 1 при умножении чисел (убедитесь сами, что ).

Матрицы, произведение которых равно единичной матрице, называются взаимно обратными. Матрица, обратная матрице , обозначается . Согласно определению, .

В примере 6 матрицы A и B взаимно обратные, то есть , .

Замечание 2. Обратные матрицы используются, например, при решении систем линейных уравнений матричным методом.

Определение 6. Транспонированием матрицы называется операция, состоящая в замене строк матрицы ее столбцами, а столбцов строками.

Матрица, полученная транспонированием матрицы , обозначается .

Пример 7. .

Пример 8. .

Свойства операций над матрицами

1º. 2º.

3º. 4º.

5º. 6º.

7º. 8º. 9º.

10º. 11º.