21. Движение частиц при наличии потенциального барьера бесконечной ширины.

Рассмотрим движение частицы поле, потенциальная энергия U(x) которого имеет вид:

Уравнение Шредингера для области I имеет вид: а для области II:

Рассмотрим сначала случай, когда энергия E частицы меньше высоты потенциального барьера Uo , т.е. E<Uo. Говорят, что в этом случае мы имеем дело с высоким потенциальным барьером. Введем:

Получаем следующие уравнения Шредингера для областей I и II:

Решения этих уравнений имеют следующий вид:

Волновая функция на границе раздела областей I и II должна быть не только непрерывной, но и гладкой, т.е. иметь непрерывную производную. Приравнивание волновых функций и их производных на границе раздела двух областей, в которых волновая функция имеет разный вид, получило название сшивки волновых функций и их производных. В данном случае условия сшивки имеют вид:

что приводит к: Положим А1=1, а А2=0, т.к. нет условий для отражения в области II. Остальные коэффициенты имеют следующий вид:

Тогда волновые функции можно записать в следующем виде:

Найдем коэффициент отражения, определяющий вероятность того, что частица отразится от высокого порога. Согласно физическому смыслу, коэффициент отражения R

После подстановки полуим:

Коэффициент прохождения D частицы через барьер определяется из условия:

Т.е D=0. Плотность вер-ти нахождения частицы в обл 2:

Т.е. при малых x вероятность обнаружить частицу в области II отлична от нуля:

22. Прохождение частицы через потенциальный барьер конечной длины

U(x)=

Уравнение Шредингера для каждой из областей:

Поскольку при заданных условиях потенциальная энергия U не может быть записана в виде аналитической функции, мы напишем уравнение Шредингера отдельно для областей (I), (III) (где потенциальные энергии одинаковы, U₀ = 0) и для области (II) и найдем решения в обоих случаях, т.е. функции Ψ_1, 3 и Ψ₂. На границе при x = 0 в силу непрерывности волновой функции и ее производной приравняем Ψ₁ и Ψ₂ и их первые производные. Проделаем то же при x = a для функций Ψ₂ и Ψ₃. Это позволит найти необходимые коэффициенты.

Итак, пишем уравнения Шредингера:

для областей (I, III)

,

для области (II)

,

где m и E – масса и полная энергия частицы, соответственно. Введем обозначения

.

Уравнения приобретают вид

.

Общие решения уравнений (1) таковы:

.

В областях (I, III) это бегущие плоские волны, а в области (II)- затухающая волна.

Отличие рассматриваемой задачи от изученных в лекции "Рассеяние частиц. Одномерное движение" состоит в том, что здесь отражение имеет место как на границе областей (I) и (II), так на границе (II) и (III). Поскольку в области (III) потенциал постоянен, отражения нет, и коэффициент b₃ = 0.

Для нас представляет интерес в первую очередь коэффициент прохождения D, который есть отношение

где v - скорость частицы. Она одинакова для всех частиц в областях I и III.

Применяя граничные условий к волновым функциям позволяет получить следующее выражение для коэффициента прохождения: .Эта формула показывает, во-первых, что коэффициент прохождения не равен нулю, во-вторых, его величина очень сильно зависит от ширины барьера a.