16.Собственные значения оператора квадрата момента импульса.

Оператор квадрата момента импульса: М²=М²х+М²у+М²z

Для того, чтобы найти собственные функции и собственные значения оператора квадрата момента импульса   уравнение

     

     с учетом формулы  следует записать в сферической системе координат. Тогда оно примет вид

     

.

(3.67)

      Решение этого уравнения может быть записано с привлечением специальных функций. Прежде всего отметим, что спектр собственных значений оператора   оказывается дискретным, то есть уравнение (3.67) имеет решения из класса регулярных функций только для значений

     

.

(3.68)

     Каждому собственному значению из (3.68) соответствует   различных собственных функций, которые выделяются заданием целочисленного параметра  . Другими словами, каждое собственное значение оператора   имеет кратность вырождения, равною  .

17.Основные свойства скалярного произведения 2-х ф-ий фи и пси.

Скалярным произ-ем 2-х ф-ий пси и фи (для одномерного случая)

(φ,ψ)=∫(от -беск до беск) φ*(x) ψ(x)dx.

1.(φ,ψ)=( ψ, φ)*;

2. (φ,ψ1+ψ2)=( φ,ψ1)+( φ,ψ2);

3. (φ1+ φ2,ψ)= (φ1,ψ)+( φ,ψ2);

4. (λ φ,ψ)= λ*( φ,ψ), λ=const;

5. (φ, λ ψ)= λ(φ,ψ).

18. Коммутаторы

Коммутатором или перестановочным соотношением для операторов L1 и L2 наз-ся соотношение:

(L1,L2)= L1 L2 – L2 L1. Коммутатору присуще след свойство: (L1, L2)=-(L2,L1)

19. Частица в потенциальной яме бесконечной глубины

Такая потенциальная «яма» описывается следующими соотношениями для потенциальной энергии (рис.4):

U =  в областях 1, 3 для x < 0 и x > a; U = 0 в области 2 для 0> x >a.

 

Рис.4. График потенциала одномерной бесконечно глубокой «ямы».

Запишем стационарное уравнение Шредингера для областей 1, 3 , где U=

, (1.14)

его единственно возможное решение =0. Это означает, что вероятность нахождения частицы в этих областях равна нулю и частица туда проникнуть не может.

 Для области 2 стационарное уравнение Шредингера имеет вид

, (1.15)

из теории дифференциальных уравнений следует, что его решение имеет вид

 . (1.16)

Вследствие требования непрерывности функции , она должна быть равна нулю в точках x=0 и x=a, что следует из решения для областей 1, 3. Отсюда получается, что должны выполняться соотношения Asin(0)+Bcos(0)=0, Asin(ka)+Bcos(ka)=0 и, согласно математике, это будет при B=0 и ka=n, где n-целое число. Необходимое также условие нормировки (1.12) в данной задаче имеет вид

, (1.17) sin²x= (1-cos2x)/2

взяв этот интеграл, получаем   и в результате имеем конечное выражение для возможных решений уравнения Шредингера в поставленной задаче

 . (1.18) (возвести в квадрат)= плотность вероятности

Данное решение показывает, что поведение микрочастицы в одномерной бесконечно глубокой потенциальной «яме» может быть различным в зависимости от значения числа n, его называют квантовым числом и рассматривают как номер возможного состояния микрочастицы.

20. Частица в потенциальной яме конечной глубины

Рассмотрим частицу, находящуюся в области потенциальной прямоугольной ямы конечной глубины (рис.4.20) . Такая модель качественно описывает

Рис. 4.21.

     движение заряженной частицы, например электрона, вблизи атома и применяется в атомной физике и физике твердого тела. Пусть потенциальная энергия частицы имеет вид

     

     Рассмотрим сначала случай  , т.е. будем считать, что частица находится в яме. Уравнение Шредингера в областях I и III ( вне потенциальной ямы) записывается в виде

     

     Вводя обозначение   , получаем

     

     Решения этого уравнения имеют вид

     

     Для того, чтобы волновая функция была ограничена, нужно потребовать, чтобы   и  .

     В области II , т.е. внутри потенциальной ямы, уравнение Шредингера

     

     имеет осциллирующее решение   , где   .

     Таким образом, волновые функция частицы для данной задачи имеют вид