1.2. Пример. Проверочный расчет бруса, закрепленного одним концом (ргр 1)
Для стального ступенчатого бруса (рис.1.2) нагруженного сосредоточенными силами F1, F2, F3 определить продольные силы, нормальные напряжения и деформации на участках. Построить эпюры продольных сил, нормальных напряжений и перемещений. Проверить условие прочности при [] = 160 МПА.
Дано: F1=20кН; F2=40кН; F3=30кН; А1=16·10-4м2; A2=12·10-4м2; Е= 2· 105 МПа; L l = 0,3 м; L2 = 0,2м; L3 = 0,2м .
Схема нагружения.
Рисунок 1.2.
Решение: Брус разбиваем на участки 1, 2, 3 по характерным сечениям.
Определение продольных сил на участках.
Продольную силу на участке, определяем методом сечения (рисунок.1.З.), рассматривая равновесие отсеченной части и составляя уравнение равновесия в форме:
ΣХi=0 (сумма проекции всех сил на ось х).
1-участок. ΣX = 0; -N1 + F1=0;
N1= F1= 20кН.
2- участок. ΣX = 0; -N2+ F1 -F2 = 0;
N2= F1 - F2 = -20кH.
3- участок. ΣX =О; -N3+ F1 - F2 - F3= 0;
N3= F1 - F2 - F3 = -50кH .
По полученным значениям строим эпюру продольных сил N (рисунок 1.4.).
Определение нормальных напряжений на участках.
Нормальные напряжения на каждом участке бруса определяем по формуле:
.
1-участок.
2-участок.
3-участок.
По полученным значениям строим эпюру продольных сил σ (рисунок1.4.) .
Метод сечений.
Рисунок 1.3.
3. Определение абсолютных продольных деформаций.
Абсолютные продольные деформации на участках бруса определяем, используя закон Гука:
1-участок.
2-участок.
.
3-участок.
.
Построение эпюры перемещений.
Обозначив граничные сечения через А, В, С, Д (рисунок 1.4.) определим перемещения этих сечений как алгебраическую сумму перемещения предыдущего сечения и удлинения (укорочения) соответствующего участка.
Перемещение сечения А: δА = 0.
Перемещение сечения В: δВ = δА + ΔL3 =
= 0 + (-0,0415) = -0,0415мм .
Перемещение сечения С: δС = δВ + ΔL2 =
=- 0,0415 + (-0,0167)= - 0582 мм
Перемещение сечения Д: δД = δС + ΔL1 =
= - 0,0582 + 0,0187 = 0, 0345мм.
По полученным значениям строим эпюру δ (рисунок 1.4).
5. Проверка условий прочности по нормальным напряжениям: max│σ│<[σ];
σ= 41,5 МПА<160 МПА
Условие прочности выполняется.
Эпюры продольных сил, нормальных напряжений и перемещений.
Рисунок 1.4.
Статически неопределимая стержневая система ( растяжение и сжатие)
2.1. Общие сведения
Стержневая система, в которой внутренние силовые факторы не могут быть вычислены только при помощи уравнений статики, назы- вается статически неопределимой. Число дополнительных уравнений, необходимых для определения внутренних усилий системы, характеризует степень ее статической неопределимости.
Дополнительные уравнения составляются на основе рассмотрения схемы деформирования системы. Усилия в элементах статически неопределимых систем возникают только от действия внешней нагрузки (включая собственный вес конструкции). В элементах статически неопределимых систем внутренние усилия могут возникнуть и при отсутствии внешней нагрузки- в результате, например, изменения температуры, смещения опорных закреплении, неточности изготовления отдельных элементов конструкции.
Некоторые из внешних связей называются лишними. Лишними такие связи называются потому, что они не являются необходимыми для обеспечения равновесия конструкции и её геометрической неизменяемости, хотя постановка их диктуется условиями эксплуатации. По условиям прочности и жёсткости конструкции дополнительные связи могут оказаться необходимыми.
Статически неопределимую стержневую систему, состоящую из абсолютно жесткого бруса, закрепленного на шарнирную опору и прикрепленного к двум стержням при помощи шарниров, будем рассчитывать решая совместно уравнения, полученные в результате рассмотрения статической, геометрической и физической сторон задачи.
При расчетах статически неопределимых систем следует придерживаться следующей последовательности:
1. Анализ задачи.
Посчитав число неизвестных усилий и число уравнений равновесия статики определить степень статической неопределимости:
С.С.Н.= Н.У. – У.С. , ( 2.1)
где С.С.Н.- степень статической неопределимости;
Н.У. - число неизвестных усилий;
У.С. - число уравнений равновесия статики. 2. Статическая сторона задачи.
Построив план усилий составить необходимое количество уравнение равновесия статики.
3. Геометрическая сторона задачи.
Рассматривая систему в деформированном состоянии и составив план перемещений, составляем уравнения зависимости между деформациями отдельных элементов конструкций. Полученные уравнения называются уравнениями совместности деформации и их число соответствует степени статической неопределимости.
4. Физическая сторона задачи.
На основании закона Гука выражаем деформации элементов конструкции через неизвестные внутренние усилия.
Синтез задачи.
Решая совместно статические, геометрические, физические уравнения, находим неизвестные усилия.
Если на статически неопределимую систему оказывают воздействие несколько внешних факторов, то определив действие отдельных составляющих и просуммировав можно найти внутренние усилия от их совместного действия.
Ниже рассмотрим пример совместного действия внешней силы, изменения температуры в стержне и неточности изготовления стержня.