8.Устойчивость сжатых стержней

8.1. Общие сведения

При центральном сжатии прямого стержня силой F его прямолинейная форма равновесия является устойчивой до достижения указанной силой так называемого критического значения , превышение которого влечет за собой изгиб стержня .

Значение критической силы, соответствующее переходу сжатого элемента из одного состояния (первоначального) равновесия в другое, находят по формуле Эйлера , которую с учетом различных случаев закрепления концов сжатого стержня можно записать в виде :

(8.1)

где - коэффициент приведенной длины стержня, принимаемый в зависимости от характера закрепления концов стержня (рис. 8.1) .

- минимальный осевой момент инерции сечения стержня.

Виды закрепления стержня.

Рисунок 8.1.

Анализируя формулу (8.1) , можно сделать вывод , что критическая сила зависит от геометрических размеров стержня и модуля упругости материала , но не зависит от прочностных характеристик материала , из которого изготовлен стержень .

Формула Эйлера справедливо в предположении упругой работы материала стержня характеризуемой законом Гука. Поэтому она может быть использована, когда критическое напряжение в материале не превышает предел пропорциональности. Критическое напряжение , в этом случае , находится следующим образом :

, (8.2)

где - гибкость стержня;

- минимальный радиус инерции.

Приравнивая это напряжение пределу пропорциональности, найдем предельное значение гибкости:

(8.3)

При , можно применять формулу Эйлера, если , то для расчета критического напряжения используется эмпирическая формула Ф.С.Ясинского :

, (8.4)

где – постоянные зависящие от вида материала стержня .

Для стали Ст3 =310 , =1,14 .

Если не превышает 40…50 (короткий стержень), потеря устойчивости исключена.

При выборе размеров сжатых стержней обычно используется практический метод расчета, гарантирующий устойчивость стержней в процессе их эксплуатации и расчет на устойчивость ведется методом последовательных приближений по коэффициенту продольного изгиба.

При подборе размеров поперечного сечения методом последовательных приближений следует придерживаться последовательности:

1. Выбор значения φ₁=0,5…0,6.

2. Определение площади поперечного сечения через неизвестный его размер а и по формуле:

. (8.5)

Из соотношения находим а, а затем и площадь А.

3. Определение минимального момента инерции сечения (сечение симметричное) используя таблицу (3.1) моментов инерции простейших фигур.

4. Определение минимального радиуса инерции по формуле:

. (8.6)

5. Определение гибкости стержня используя формулу:

. (8.7)

6. Нахождение коэффициента продольного изгиба (приложение IX) путем интерполирования φ₁ по таблице (в таблице λ_Т= 0,10,20,….,200) и определение погрешности.

При λ _1Т < λ₁ < λ _2Т , по таблице выписываем значения λ _1Т - φ_1Т и λ _2Т - φ_2Т .

Тогда: . (8.8)

Если не удовлетворяется условие:

, (8.9)

то для следующего приближения значение коэффициента φ принимается по формуле:

. (8.10)