7. Изгиб с кручением

7.1. Основные сведения

Сочетание изгиба и кручения брусьев круглого поперечного сечения наиболее часто рассматриваются при расчете валов (рисунок 7.1.). Для отыскания опасного сечения бруса необходимо установить, как изменяется по длине бруса величины изгибающих моментов М_и и крутящих моментов М_к.

Вал воспринимающий изгибающие и крутящие нагрузки.

Рисунок 7.1.

В случаях, когда опасное сечение нельзя установить непосредственно по эпюрам М_и и М_к, приходится проверять прочность бруса в нескольких его сечениях и таким путем устанавливать опасные напряжения.

При изгибе вала круглого или кольцевого сечения в каждом из его сечений имеет место прямой изгиб под действием результирующего изгибающего момента М_и:

, (7.1)

где М_у- изгибающий момент в горизонтальной плоскости;

М_z- изгибающий момент в вертикальной плоскости.

Для определения значения приведенного момента можно использовать 4-ую теорию прочности.

. (7.2)

Диаметр вала определяем из условия прочности по соответствующей теории прочности.

. (7.3)

Исходные данные для ргр 7 в приложении 7.

7.2. Пример. Расчет вала.

Определить диаметр вала (рисунок 7.2.)по четвертой теорий прочности при [σ]=150МПа.

Заданная балка.

Рисунок7.2.

Исходные данные:

N=50 кВт, а=0,5м, b=1,6м, c=0,7м, ω=9 рад/с, D₁=0,5м, D₂=0,4м, a₁=50⁰, a₂=60⁰.

Решение.

1. Определяем моменты приложенные к шкивам:

2. Определяем крутящие моменты на участках используя метод сечений.

Схема для расчета на кручение.

Рисунок 7.3.

Первый участок: 0< х₁ < 0,5м

М_К1=0.

Второй участок: 0,5< х₂ < 2,1м

М_К2= - Т₁= - 5,6кН·м .

Третьи участок: 2,1< х₃ < 2,8м

М_К3 = - Т₁= - 5,6кН·м .

Четвертый участок : 2,8< х₄ < 3,5м

М_К2= - Т₁ + Т₂ = - 2,8кН·м .

3. Определяем силы натяжения ремней:

Определяем давление на вал от усилий на ремнях:

F_n1= 2F₁+F₁ =3F₁ = 3·22,4 = 67,2кН;

F_n2= 2F₂+F₂ =3F₂ = 3·14 = 42кН.

4. Определяем усилия, изгибающий вал в вертикальной плоскости:

5. Определяем вертикальные составляющие опорных реакции.

Составим уравнения статики в форме:

∑М_В^в=0:

∑М_А^в=0:

Проверка: ∑Fy=0:

6. Определяем изгибающие моменты на участках в вертикальной плоскости.

Участок 1. 0≤ x₁ ≤0,5м . ΣМ_i=0: М_и1^в=R_A^b∙x_1.

При х₁₌0: М_и1^в=0. При х₁=0,5м: М_и1^в=3,15кН∙м.

Участок 2. 0,5 ≤ x₂ ≤ 2,1м.

ΣМ_i=0: М_и2^в- R_A^b∙x₂ +F_n1^b∙(x₂ –a) =0;

М_и2^в= R_A^b∙x₂ -F_n1^b∙(x₂ –a).

При х₂₌0,5 м: М_и2^в=3,15кН∙м.

При х₂=2,1м: М_и2^в=-69,17кН∙м.

Участок 3 (справа налево). 0,5 ≤ x₃ ≤ 1,2м.

ΣМ_i=0: М_и3^в+F₃^b∙x₃ +F_n2^b∙(x₃ –d) =0;

М_и3^в= -F₃^b∙x₃ --F_n2^b∙(x₃ –d).

При х₃₌0,5 м: М_и3^в=-18,2кН∙м.

При х₃=1,2м: М_и3^в=-69,17кН∙м.

Участок 4 (справа налево). 0≤ x₄ ≤0,5м .

ΣМ_i=0: М_и1^в=-F₃^b∙x_4.

При х₄₌0: М_и4^в=0. При х₄=0,5м: М_и1^в=-18,2кН∙м.

7. Определим усилия изгибающие вал в горизонтальных плоскостях:

F_n1^г= F_n1∙cosα₁=67,2∙cos50⁰= 43,2кН;

F_n2^г= F_n2∙cosα₂=42∙cos60⁰= 21кН.

8. Определяем горизонтальные составляющие опорных реакций.

ΣМ_В^г=0: -R_A^г∙ (а+b)+F_n1^г∙b+F_n2^г∙c+F_n3^г∙ (d+c)=0.

ΣМ_А^г=0: - R_В^г∙ (а+b) -F_n1^г∙а+F_n2^г∙(а+b+c)+

+F_n3^г∙ (а+b+c+d)=0;

Проверка: ∑Fy=0:

ΣY_А^г=0. R_A^г –F_n1^г –R_B^г + F_n2^г+F_n3^г=0;

51,9 -43, 2-50,7 +21 +21=0.

9. Определяем изгибающие моменты на участках в горизонтальной плоскости.

Участок 1. 0≤ x₁ ≤0,5м .

ΣМ_i=0: М_и1^г=R_A^г∙x_1.

При х₁₌0: М_и1^г=0. При х₁=0,5м: М_и1^г=26кН∙м.

Участок 2. 0,5 ≤ x₂ ≤ 2,1м.

ΣМ_i=0: М_и2^г- R_A^г∙x₂ +F_n1^г∙ (x₂ –a) =0;

М_и2^г= R_A^г∙x₂ -F_n1^г∙(x₂ –a).

При х₂₌0,5 м: М_и2^г= 26кН∙м.

При х₂=2,1м: М_и2^г= 39,87кН∙м.

Участок 3 (справа налево). 0,5 ≤ x₃ ≤ 1,2м.

ΣМ_i=0: М_и3^г-F₃^г∙x₃ -F_n2^г∙(x₃ –d) =0;

М_и3^г= F₃^г∙x₃ +F_n2^г∙(x₃ –d).

При х₃₌0,5 м: М_и3^г=10,5кН∙м.

При х₃=1,2м: М_и3^г=39,9кН∙м.

Участок 4 (справа налево). 0≤ x₄ ≤0,5м .

ΣМ_i=0: М_и1^г=F₃^г∙x_4..

При х₄₌0: М_и4^г=0. При х₄=0,5м: М_и1^г=10,5кН∙м.

10. Вычисляем значения полных изгибающих моментов:

11. Определяем значение приведенного момента по 4-ой теории прочности и из условия прочности определяем диаметр вала:

Расчетные схемы и эпюры изгибающих моментов в вертикальной и горизонтальных плоскостях.

Рисунок 7.4.