Пример 5. 2.2. Прямой поперечный изгиб

Исходные данные.

а = 3,5м. b = 3.6м. с = 4,8м. . d = 2.7м

F = 14 кН. М = 21 кН∙м. q = 9 кН/м.

Заданная балка.

Рисунок 5.7.

Решение.

1. Определим опорные реакции балки составляя уравнения равновесия в форме:

Расчетная схема.

Рисунок 5.8.

Проверка. ∑Fy=0:

2. Определим значения Q и Ми.

Участок 1 (слева направо).

0£ х₁ £3,5м

∑Fy=0: - F - q∙x₁ -Q₁=0;

Q₁= -F - q∙x₁;

∑M_i=0: M₁+F∙x₁+q∙x₁²/2=0;

M₁= -F∙x₁ - q∙x₁²/2.

При x₁=0: Q₁= -F= -14кН; M₁=0.

При x₁=3,5м: Q₁= -14- 9∙3,5 = -45,5кН;

M₁= -14∙3,5 - 9∙3,5²/2 =- 104,125кН∙м.

Участок 2 (слева направо).

3,5£ х₂£ 7,1м.

∑Fy=0: R_A – Q₂ – F – q∙x₂=0.

Q_{2 =}R_A – F – q∙ x₂.

∑M_i=0: М₂ - R_A∙(x₂- a) + F∙x₂+ q∙x₂²/2 =0.

М₂= R_A∙(x₂- a) – F x₂– q∙x₂²/2.

При х₂=3,5м: Q₂ =35,35kH, M₂= -55,125кН∙м.

При х₂=7,1м: Q₂ =2,95kH, M₂= -35,185кН∙м.

3. Участок 3 (справа налево).

0£ х₁ £ 4,8м

∑Fy=0: Q₃+R_B- =0. Q₃ = -R_B=2,95кН.

∑M_i=0: - M₃ + R_B∙x₃ =0; M₃= R_B ∙x₃ .

При х₃ =0: M₃=0. При х₃=4,8м: M₃= - 14,2 кН∙м.

4. По найденным значениям Q и М построим их эпюры (рисунок 5.9.)

5. По условию прочности определяем момент сопротивления сечения:

По сортаменту выбираем двутавр №27а:

W_z = 407 cм³;

J_z = 5500 см⁴;

Е = 2∙10⁵МПа.

EJ_z= 11000кН∙м².

Проверка прочности по нормальному напряжению:

Условие прочности выполнено.

5.Определение прогиба и угла поворота в сечении К методом начальных параметров.

Начало координат помещаем в левом конце балки. Так как начало координат на свободном конце, то у₀≠0 θ₀≠0 Для определения начальных параметров рассмотрим перемещения сечении А и В.

Сечение А: при х_А=3,5м у_A =0, θ_A¹0.

(1*)

Сечение В: при х_В=11,9 м f_В =0, θ_В¹0.

Вычитая из последнего уравнения предыдущее, получим:

Из этого:

Из уравнения (1*):

Определяем прогиб в т. К при Х_К=7,1 м.

Определяем угол поворота сечении К .

Эпюры поперечных сил и изгибающих моментов.

Рисунок 5.9.

6. Косой изгиб.

1. Общие сведения

Косой изгиб — это сложный вид деформации. Он возникает тогда, когда плоскость действия нагрузок (q, F, М) не совпадает ни с одной из главных плоскостей. Возможны два случая косого изгиба: плоский, когда все внешние силы лежат в одной плоскости (рисунок 6.1.а)и пространственный, когда расположение сил произвольно (рисунок 6.1.б). При косом изгибе внутренний изгибающий момент в поперечных сечениях бруса можно рассматривать как два изгибающих момента М_z и М_y относительно главных осей инерции поперечного сечения z и у. Влиянием поперечных сил Q_z и Q_y пренебрегаем.

Косой изгиб: плоский (а) , пространственный (б).

Рисунок 6.1.

Нормальные напряжения в точках определяются как сумма нормальных напряжении от изгибающих моментов М_z и М_y:

( 6.1)

где J_z , J_y — главные центральные моменты инерции сечения;

z, у — координа- ты точки в системе главных центральных осей.

В формулу (6.1) следует подставлять абсолютные значения М_z, М_y, z, у, устанавливая знак слагаемых по характеру деформации стержня (при растя- жении принимается знак плюс).

Тангенс угла наклона нулевой линии с осью z определяется из выражения :

( 6.2)

где β — угол, характеризующий положе- ние нулевой линии, он откладывается от оси z в ту же сторону, что и угол α от оси у, который определяет положе- ние силовой линии (рисунок 6.2).

Положение нулевой линии и эпюра нормальных напряжений.

Рисунок 6.2.

В общем случае нулевая линия не перпендикулярна к силовой линии. Угол между этими линиями зависит от степени различия главных моментов инерции J_z и J_y . В случае их равенства нулевая и силовая линии пересекаются под углом 90⁰.

Максимальные растягивающие и сжимающие напряжения возникают в точках, наиболее удаленных от нуле- вой линии. Составляющие нормального напряжения для наиболее удаленных точек от координатных осей поперечного сечения балки при косом изгибе определяются по формулам:

( 6.3)

где W_z ,W_y — осевые моменты сопротивления

относительно осей z и y;

Условия прочности для сечений, симметричных относительно главных центральных осей и имеющих выступающие угловые точки (прямоугольники двутавры и др.), записываются в виде:

. ( 6.4)

Полный прогиб, т. е. линейное перемещение центра тяжести какого-либо поперечного сечения стержня, равен геометрической сумме его перемещений в направлении главных центральных осей:

, ( 6.5)

где f_z — прогиб в направлении оси z;

f_у — прогиб в направлении оси у.

Направление прогибов при плоском косом изгибе перпендикулярно к ну- левой линии, но в общем случае не совпадает с направлением следа силовой плоскости . При действии на стержень пространственной системы сил ось стержня представляет собой пространственную кривую линию.