2. Порядок выполнения лабораторной работы

• журнале эксплуатации имеются данные об отказах по пя-ти объектам, которые функционировали в течение недели:

51

Номер	Время отказа, мин
объекта
1	32, 52, 142, 262, 322, 502, 542, 822, 832, 891, 1007, 1086,
	1326, 1356, 1367, 1389, 1416, 1480, 1605, 1615
2	43, 48, 67, 76, 142, 203, 285, 420, 508, 566, 783, 809, 1052,
	1052, 1098, 1101, 1155, 1180, 1319, 1331, 1417
3	30, 108, 179, 248, 281, 358, 409, 511, 592, 663, 895, 937,
	957, 980, 1144, 1168, 1301, 1450, 1501, 1531
4	135, 170, 253, 271, 325, 406, 507, 595, 689, 713, 750, 907,
	1016, 1081, 1229, 1350, 1371, 1387, 1430, 1460
5	83, 121, 231, 359, 411, 489, 507, 565, 701, 790, 905, 936,
	1033, 1091, 1206, 1289, 1291, 1341, 1433, 1517

1. Определяем значения случайных величин и размах . Слу-чайной величиной является наработка на отказ, т.е. чистое время работы системы между отказами. Для этого необходимо вычесть из каждого предыдущего значения момента времени отказа ка-ждое последующее. Первые значения моментов времени отказов для каждого из пяти объектов остаются без изменений, посколь-ку предыдущих значений нет:

Номер	Наработка, мин
объекта

1. 32, 20, 90, 120, 60, 170, 40, 280, 10, 59, 116, 79, 240, 30, 11, 22, 27, 64, 125, 10

2. 43, 5, 19, 9, 66, 61, 82, 135, 88, 58, 217, 26, 243, 46, 3, 54, 25, 139, 12, 86

3. 30, 79, 69, 33, 77, 51, 102, 81, 71, 232, 42, 20, 22, 23, 164, 24, 133, 149, 51, 30

4. 135, 35, 83, 18, 54, 84, 98, 88, 94, 24, 37, 157, 109, 65, 148, 121, 21, 16, 43, 30

5. 83, 38, 110, 128, 52, 78, 18, 58, 136, 89, 115, 31, 97, 58, 115, 83, 2, 50, 92, 84

Для определения размаха строим вариационный ряд слу-чайной величины, мин:

52

2	3	5	9	10	10	11	12	16	18
18	19	20	20	21	22	22	23	24	24
25	26	27	30	30	30	30	31	32	33
35	37	38	40	42	43	43	46	50	51
51	52	54	54	58	58	58	59	60	61
64	65	66	69	71	77	78	79	79	81
82	83	83	83	84	84	86	88	88	89
90	92	94	97	98	102	109	110	115	115
116	120	121	125	128	133	135	135	136	139
148	149	157	164	180	217	232	240	243	280

Максимальное значение случайной величины 280 мин, а минимальное значение 2 мин. Следовательно, размах вариаци-онного ряда R = 280 – 2 = 278 мин.

2. Для построения гистограммы и полигона частостей слу-чайной величины делим размах варьирования случайной вели-чины на равные интервалы и определяем частоту попадания значений случайной величины в каждый интервал. Количество

интервалов определяем по выражению:
r ≈ 1  3,332 ⋅ lg n ,	(5.1)

где r – число равных интервалов разбиения вариационного ряда; n – число значений случайной величины, составляющих ва-

риационный ряд.

r  1  3,332 ⋅ lg100 ≈ 8.

Эта выражение дает 8 интервалов, следовательно, размах каждого интервала

R  278 8  34,75.

Округляем полученную величину до целого числа, получаем 35. 3. Составляем таблицу распределения частоты и частостей

по интервалам (табл. 5.1).

Если значения случайных величин попадают на границу ин-тервала, то необходимо разделить их между двумя соседними интервалами пополам.

53

Таблица 5.1

Распределение наработки на отказ

Границы			Накопленная	Накопленная
интервалов	Частота ni	Частость ni/n	частота, ni	частость,
				ni/n
2–37	31,5	0,315	31,5	0,315
37–72	223,5	0,235	55	0,550
72–107	21	0,210	76	0,760
107–142	14	0,140	90	0,900
142–177	4	0,040	94	0,940
177–212	1	0,010	95	0,950
212–247	4	0,040	99	0,990
247–280	1	0,010	100	1,000

По данным табл. 5.1 (1-й, 5-й столбцы) строим гистограмму и полигон частостей, т.е. график вероятности появления случай-ной величины (рис. 5.1). Затем строим эмпирическую функцию вероятности отказов (1-й, 3-й столбцы) (рис. 5.2).

Рис. 5.1. Гистограмма и полигон частостей наработки на отказ

54

Рис. 5.2. Эмпирическая функция вероятности отказов

4. Используя данные табл. 5.1, определяем среднее значение случайной величины:

n	T	,	(5.2)
Tcp  	i
i1	n

где Т_i – наработка на отказ;

n – число учитываемых наработок до отказа (число величин, составляющих вариационный ряд наработки на отказ).

Если в формулу (5.2) подставить числовые значения для данного примера, то получим Т_ср = 74,88 мин.

5. Определяем значение дисперсии распределения случай-ной величины:

n

(T_i − T_cp )²

D ( t ) 	i1		.	(5.3)
		n

• данном случае D(t) = 3132,5 мин².

6. Рассчитываем значение стандартного отклонения распре-деления случайной величины:

55

s  D (t)  3132,5  56 мин.

7. Рассчитываем значение коэффициента вариации случай-ной величины:

r 	s		56	 0,75 мин.
			74,88
	Тср

8. Находим ошибку в определение стандартного отклонения распределения случайной величины:

s 	s		56	 5,6 мин.
t	n		100

Тогда Т_ср = 74,88  5,6 мин, или, округляя, 69  Т_ср 81.

9. Ломаная кривая на рис. 5.1 близка к экспоненте, а коэф-фициент вариации близок к единице, поэтому можно сделать предположение, что эмпирическое распределение является экс-поненциальным.

10. Проверяем предположение о виде эмпирического рас-пределения случайной величины на основе его линеаризации.

Проверка состоит в том, что по результатам испытаний ги-потеза относительно вида распределения должна быть принята

как истинная или отброшена как ложная. Таким образом, здесь говорится о согласованности теоретического распределения с экспериментальными данными.

На координатной плоскости, соответствующей предпола-гаемому экспоненциальному распределению, наносим по дан-ным табл. 5.1 экспериментальные точки функции надежности. Затем убеждаемся в возможности линейного аппроксимирова-ния. Проводим прямую линию так, чтобы отклонения экспери-ментальных точек от этой линии были минимальными (рис. 5.3).

56

Рис. 5.3. Эмпирическая функция вероятности отказов, соответствующая экспоненциальному распределению

Соответствие теоретического распределения эксперимен-тальным данным можно проверить с помощью критерия согла-сия Колмогорова. Теоретическое распределение не противоре-

чит экспериментальным данным, если D n ≤ 1, где D – макси-

мальное значение модуля отклонения теоретической функции распределения от экспериментальной, n – число испытаний (т.е. число величин, составляющих вариационный ряд), n ≥ 40...50. Величина D измеряется в долях ординаты как рас-стояние между наиболее удаленными точкой и прямой.

В нашем случае D = 0,01. Вычисляем значение D n  0,01 100  0,1. Это значение меньше 1, поэтому можно

считать, что экспоненциальное распределение наработки до от-каза не противоречит экспериментальным данным.

Параметр потока отказов определяется из выражения

λ 	1	.	(5.4)
	Тср

Подставляя в эту формулу значение Т_ср = 74,88 мин, получа-ем λ = 13 ⋅10⁻³ мин^–1.

11. Аппроксимирующие математические выражения для плотности распределения по экспоненциальному закону

57

f  λ exp( −λ),

для функции «вероятность отказов»

F(t )  1 − exp( −λt),

для функции «вероятность безотказной работы»

P(t )  exp( −λt).

Подставляя параметр потока отказов и различное значение времени в эти выражения, получим вероятности отказа и безот-казной работы технологической системы (табл. 5.2).

Таблица 5.2

Вероятности отказа и безотказной работы технологической системы

Время t, ч	F(t)	P(t)
0	0	1
25	0,28	0,72
50	0,50	0,50
75	0,60	0,40
100	0,70	0,30
150	0,80	0,14
200	0,93	0,07
250	0,96	0,04
300	0,98	0,02

12. Построим графики F(t) и P(t) (рис. 5.4). Из графиков сле-дует, что технологическая подсистема имеет весьма низкую на-дежность, поскольку вероятность безотказной работы P(t) = 0,72

при t = 25 ч, а P(t) = 0,5 при t = 50 ч.

12. Основные показатели надежности оцениваемой подсис-темы сводим в таблицу:

58

Показатели надежности	Значение показателей
P(t = 50)	0,50
P(t = 100)	0,30
P(t = 150)	0,14
λ	13⋅10–3 мин–1
Tcp	74,88  5,6 мин

Рис. 5.4. График функции вероятности отказов F( t) и вероятности безотказной работы P(t) технологической системы

14. Составим отчет по проделанной работе, в который долж-ны войти следующие разделы:

– название и цель работы;

– краткие теоретические сведения с основными соотноше-ниями;

– вычисление вероятности отказов F(t) и вероятности безот-казной работы P(t) технологической системы;

– выводы по проделанной работе.