7. Пороговая энергия ударной генерации электронно-дырочной пары (ударной межзонной ионизации)
7.1.
Ударная генерация электронно-дырочной
пары
(рис.8а) происходит за счет передачи
высокоэнергичным носителем, например,
электроном
зоны проводимости, энергии электрону
валентной зоны (рис. 8b),
достаточной для переброса его в зону
проводимости.
Рис. 8. Одномерная схема в пространстве энергия-импульс ударной генерации электроном зоны проводимости электронно-дырочной пары ; а и b - результат и процесс генерации, соответственно.
Минимально допустимое значение энергии носителя, при которой может происходить этот процесс, называется пороговой энергией ионизации . Её величина определяется электронным энергетическим спектром, т.е., зависимостью дисперсионных кривых [см., например, рис. 8]. Чтобы найти эту энергию, нужно воспользоваться законами сохранения, соответственно, энергии и импульса
=
-
,
(37)
=
, (38)
где
и
;
и
;
и
;
и
- энергии и импуль- сы первичного
(затравочного) электрона зоны проводимости;
его же, но после процесса ударной
ионизации; электрона рождённой
электронно-ды-рочной пары; первичного
электрона валентной зоны (рис.8).
Вводя
энергии электрона и дырки соответственно
относительно дна зоны проводимости
-
и потолка валентной зоны
,
а также импульс дырки
и полагая, что дно зоны проводимости
имеет нулевую координату (
на рис. 8), соотношения (37) и (38) перепишем
как
=
+
+
,
(39)
+
+
+
,
(40)
где - импульсная координата потолка валентной зоны.
В одномерной модели соотношения (39) и (40) принимают вид
=
+
+
,
(41)
+ + + , (42)
Уравнения
(41) и (42) определяют
и
,
следовательно, и
и
,
как функции от двух независимых переменных
и
.
Как следует из дифференциального
исчисления, производные функции
по независимым переменным
и
в точке ее минимального значения равны
нулю, т. е.,
,
(43)
,
(44)
По
определению,
.
Из (42), (43) и (44) имеем
=
(45)
а поэтому из (41), (43) и (44) следует, что
(46)
Соотношения
(41), (42) и (46) представляют собой систему
4-х линейно независимых уравнений для
4-х неизвестных. В принципе, она позволяет
при заданных дисперсионных зависимостях
энергий электронов зоны проводимости
и дырок валентной зоны найти значение
в минимуме функции
,
тем самым, пороговую энергию ионизации
.
Вычислим значение пороговой энергией ионизации для квадра-
тичного закона дисперсии, т.е., когда
,
,
,
(47)
,
,
,
(48)
Тогда из (46) - (48) следует равенство (алгебраических) скоростей
(49)
В рассматриваемых условиях (47) и (48) имеем, что
+
+
+
(50)
+
+
(51)
Из (49) - (51) следует, что
=
+
,
(52)
где
=
,
(53)
Таким образом, приходим к уравнению
+
+
=
,
(54)
в котором
=
,
+
,
(55)
=
+
.
(56)
Из
соотношений (55) и (56) видно, что параметры
уравнения (54)
и
зависят от импульсной координаты потолка
валентной зоны
относительно импульсной координаты
дна зоны проводимости
(рис. 8). Это означает, что искомая пороговая
энергия ударной генерации (ионизации)
зависит от степени непрямозонности
полупроводника, т. е., от разности
-
.
В
частности, в прямозонном полупроводнике
(в нашей системе координат
).
Из уравнения (54) следует, что в этом
случае
=
(57)
Поэтому в прямозонном полупроводнике
(58)
В
общем случае, когда
(в нашей системе координат
),
из уравнения (54) следует, что при энергии
затравочного электрона
его скорость имеет одно из двух значений
,
(59)
где
=
(60)
Положим
(рис.8).
Тогда в (59) перед корнем нужно взять знак
'+'. В итоге найдем, что безразмерная
пороговая энергия ударной генерации
электронно-дырочных пар (ударной
межзонной ионизации)
(61)
определяется соотношением
(62)
где безразмерный квазиимпульс
,
(63)
,
,
(64)
,
,
,
(65)
- масса свободного электрона. Использование безразмерных величин позволяет получить и проанализировать универсальные зависимости (рис. 9 - 11).
Из
выражения (62) следует, что пороговая
энергия ударной генерации немонотонно
и ассиметрично (рис. 9) зависит от положения
потолка валентной зоны
относительно положения дна зоны
проводимости
(рис.8).
Как
следует из выражения (62), положение
минимума функции
определяется из условия
(66)
и находится при значении квазиимпульса
(67)
Подставляя выражение (67) в соотношение (62) можно получить, что
(68)
Оценим
максимально возможное значение величины
.В
пространстве квазиволновых векторов
максимальное расстояние между двумя
точками в (первой) зоне Бриллюэна [10
- 12]
(69)
Это означает, что
=
(70)
Рис.
9 Зависимость
безразмерной энергии ионизации
(6151)
от
безразмерной импульсной координаты
потолка валентной зоны
(6353)
относительно
импульсной координаты дна зоны
проводимости
.
З
начения
:
сплошные
кривые
( ) - 0,1;
штриховые
(
)
- 1;
штрихпунктирные
(
)
- 10.
Значения : кривые 1 - 1; кривые 2 - 0,01.
Рис.
10 Зависимость положения минимума
функции
от
отношения эффективных масс дырок и
электронов
при
различных значениях параметра
=
,
см. (55).
Значения
:
кривая
1
- 1;
кр.
2
– 0,1;
кр.
3
– 0,01.
Пунктирный
участок на кривой
1
– область
значений
,
превышающих максимально допустимое
значение (71).
где
редуцированная постоянная Планка
Дж/c
.
Если
положить
Ǻ
=
м
[6, 10
- 12,
17],
получим, что
кг·м/c.
Далее,
1эВ =
Кл·В.
Масса свободного электрона
кг. В итоге из (63) следует, что
(71)
Поэтому при построении зависимостей на рис. 9 и 10 учтен результат оценки (71).
Рис. 11. Зависимость минимальных безразмерных энергий пороговой ударной ионизации (генерации)
и
от
отношения эффективных масс дырок и электронов .
Кривая
на рис.11 всегда больше единицы. Таким
образом, если ударная генерация
совершается только одним электроном
без участия других объектов твердого
тела, например, фононов, и при отсутствии
туннельных эффектов, то пороговая
энергия генерации при любых значениях
превышает ширину запрещенной зоны
.
Эта закономерность обусловлена
требованием сохранения не только
энергии, но и квазиимпульса в процессе
ударной генерации (рис. 8).
Так как дырки - это квазичастицы со свойствами, близкими к свойствам квазичастиц - электронов, то, естественно, что аналогичная ситуация имеет место и при генерации электронно-дырочной пары только одной дыркой.
Однако,
ударная (impact)
генерация электронно-дырочной пары
возможна, в принципе, и при энергии
носителя
.
7.2. Инициирующий ударную генерацию (затравочный) носитель может взаимодействовать не только с другим свободным носителем, что выше предполагалось (рис. 8), но и с фононом. За счет такого взаимодействия закон сохранения квазиимпульса может выполняться при меньших значениях квазиимпульса затравочного носителя, чем при безфононной ударной генерации. Другими словами, затравочному носителю (электрону на рис. 8) не нужно высоко забираться по дисперсионной кривой , чтобы произвести ударную генерацию. Это обусловлено тем, что квазиимпульс фонона сравним с квазиимпульсом носителя (рис. 5), а энергия фонона обычно мала по сравнению с шириной запрещенной зоны . Более того, энергия носителя при взаимодействии с фононом может измениться слабо, а импульс - существенно (разделы 4 и 5). Если, к тому же, генерируемый электрон ( на рис. 8) займет хотя бы немного энергии у фононов, то может оказаться , что .
7.3. Пороговая энергия ударной генерации электронно-дырочной пары может оказаться меньше ширины запрещенной и при взаимодействиях только внутри электронной системы полупроводника. Многочастичные электронные столкновения, например, тройные (рис. 12), в расчете на
один затравочный носитель могут обеспечить выполнение неравенства . В этом случае, например, при инициировании ионизации электронами зоны проводимости, генерируемый электрон ( на рис. 8 и 12) получает необходимую энергию сразу от двух и более затравочных электронов. Поэтому начальная энергия каждого затравочного электрона не обязана быть больше . Более того, ударная генерация, в отличие от генерации одним электроном (рис. 8), в рассматриваемом случае может происходить без изменения квазиимпульса генерируемого электрона ( на рис. 12).
Ee
Ec
Eg
pe2c
pe1c
p
Ev
e1v
Рис.
12. Одномерная
схема
в
пространстве энергия-импульс процесса
ударной генерации двумя электронами
зоны проводимости
и
электронно-дырочной
пары(тройное столкновение);
-
генерируемый
в зону проводимости электрон валентной
зоны.
7.4.
Еще
один физический механизм, приводящий
к значению пороговой энергии ударной
генерации электронно-дырочных пар,
меньшей, чем ширина запрещенной зоны
полупроводника, связан с чисто квантовым
явлением, не имеющим аналога в классической
физике - туннелированием. Этот механизм
подобен эффекту Франца-Келдыша при
межзонном поглощении оптического
излучения в сильных электрических полях
[4,
11,
1713]
– межзонном поглощении света с энергией
фотона
,меньшей
ширины запрещенной зоны
. В соответствии с последовательностью
Рис. 13. Одномерная схема в пространстве энергия-координата ударно-туннельной генерации электронно-дырочной пары;
в
случае
a
- напряженность поля меньше, чем в случае
b.
-затравочный
электрон зоны проводимости,
- генерируемый
в зону проводимости электрон валентной
зоны;
- волновая функция;
,
где
и
-
длины чистого
туннелирования в случаях
a
и b,
-
длина туннелирования после взаимодействия
электронов
и
(ударного
подброса
).
происходящих при этом процессов его уместно называть ударно-туннель-
ной генерацией (ионизацией), рис. 13. Дело в том, что электронам, строго говоря, не совсем запрещено находиться в запрещенной зоне твердого тела. Вероятность находиться электронам в запрещенной зоне резко, но не скачком, падает до нуля по мере удаления от разрешенной зоны за счет так называемых хвостов плотности состояний [10, 17].
Если приложить к образцу электрическое поле и увеличивать его напряженность , то вероятность нахождения электрона с заданной энергией в запрещенной зоне будет расти. Это поясняет рис. 13. Вероятность найти электрон в запрещенной зоне (band gap) в одномерном случае описывается волновой функцией
.
(72)
Предэкспоненциальный
множитель (квазиамплитуда)
,
как и ква-
зиамплитуда
волновой
функцией электронов в разрешенных зонах
(функции Блоха [6, 10 - 12,
17])
действителен и относительно
слабо изменяется с изменением
.
Однако, в отличие от функции Блоха,
квазиволновой вектор
является мнимой величиной, так что
экспоненциально
спадает при удалении от разрешенной
зоны (рис. 13). Электрон в валентной зоны
,
в принципе, может оказаться в зоне
проводимости за счет чисто прямого
межзонного туннелирования (процесс 1
2
на рис. 13 [2, 4, 9, 19]),
при котором энергия электрона не
меняется. Вероятность такого процесса
тем больше, чем больше перекрытие
хвостов
волновых функций электронов валентной
зоны и зоны проводимости. Как видно из
рис. 13, это перекрытие увеличивается с
ростом напряженности электрического
поля
.
К
рассматриваемому процессу можно подойти
и с иной стороны. Чтобы осуществить
чисто прямое межзонное туннелирование,
электрону валентной зоны нужно преодолеть
барьер 1-2-5
на рис. 13. Высота этого барьера равна
ширине запрещенной зоны
при любой напряженности электрического
поля
,
а его длина (расстояние между точками
1 и 2)
зависит от
.
Эта длина называется длиной туннелирования
.
Как видно из рис. 13, с
ростом
за
счет увеличения наклонов дна зоны
проводимости
и потолка валентной зоны
уменьшается длина чисто прямого
межзонного
туннелирования
, от величины которой резко зависит ее
вероятность [2,
9, 19].
Как отмечалось выше, значения
,
при которых происходит интенсивная
ударная генерация носителей, а поэтому
и их лавинное размножение, имеют большую
величину [1,
2, 4, 7, 9]. При таких напряженностях
электрического поля вычисление прямых
туннельных токов можно проводить в
приближении квазиоднородного поля [9].
Оно состоит в том, что на длине
туннелирования поле меняется слабо,
так что на этом промежутке зависимости
и
можно
принять
линейными функциями
.
Не случайно, поэтому, туннельные барьеры
на рис. 13 изображены треугольными.
Использование приближение
квазиоднородного поля
сильно упрощает расчеты и позволяет
вывести аналитические формулы [9].
Поскольку
,
где электрический потенциал
на длине туннелирования
изменяется на величину
,
то при треугольном барьере
(73)
Согласно природе одноступенчатого процесса 1 2, его уместно назвать туннельной генерацией электронно-дырочных пар. В процессе 1 2 фотоэлектроны не участвуют. Поэтому туннельная генерация является отрицательным эффектом для лавинных фотодиодов, так как приводит к росту темновых токов, а, следовательно, и шумов в лавинных фотодиодах [9].
Но электрон зоны проводимости может помочь электрону валентной зоны проникнуть в зону проводимости, если отдаст часть своей энергии (процесс 6 5 на рис. 13b) электрону , чтобы тот подскочил вверх на некоторую величину ближе к зоне проводимости (процесс 1 3, рис. 13b). Такая передача возможна только при достаточно больших полях по двум причинам.
Во-первых, нужно, чтобы электроны зоны проводимости были достаточно сильно разогреты для способности инициирования процесс
1 3.
Во-вторых, при слабых полях вероятность электрону находиться в точке 3 мала (рис. 13а), по сравнению с вероятностью при сильных полях (рис. 13 b).
Если
еще учесть, что с увеличением поля резко
растет вероятность туннельного процесса
3
4 за счет уменьшения длины туннелирования
,
то станет ясно, почему ударно-туннельная
генерация электронно-дырочных пар может
возникать только в сильных электрических
полях. Согласно природе двухступенчатого
процесса 1
3
4,
его
уместно назвать именно ударно-туннельной генерацией. Естественно, при ударно-туннельной генерации может оказаться, что .