Понятие о точечном оценивании параметров.

Пусть Х – наблюдаемый признак с известным видом функции (плотности, закона) распределения. Будем предполагать, что функция распределения зависит от параметров: .

Назовем точечной оценкой параметра всякую формулу, которая по результатам выборки позволяет расчитывать приближенное значение параметра: .

Отметим, что точечную оценку, как и выборку, можно рассматривать с двух точек зрения: как расчетную формулу или как случайную величину.

Пример. Как известно, нормально распределенная СВ задается плотностью распределения

,

зависящей от двух параметров . Поскольку при этом является математическим ожиданием, а - средним квдратическим отклонением, то учитывая теорему Гливенко-Кантелли, естественно предположить, что . Эти соображения приводят к следующей паре точечных оценок

Замечание. Разумеется, для одного и того же параметра, как правило, существует много оценок. Например, в предыдущем примере в качестве оценки математического ожидания можно выбрать первое из производимых измерений наблюдаемого признака.

В связи с этим, среди оценок следует выбирать наилучшие. Для отбора используют следующие критерии:

1. Несмещенность. Точечная оценка параметра называется несмещенной, если математическое ожидание оценки совпадает с истинным значением этого параметра:

2. Состоятельность. Точечная оценка параметра называется состоятельной, если при неограниченном увеличении объема выборки СВ сходится по вероятности к истинному значению этого параметра, т.е. если каково бы ни было .

3. Эффективность. Несмещенная точечная оценка параметра называется эффективной, если она имеет наименьшую дисперсию среди всех несмещенных оценок рассматриваемого параметра.

Замечание. При формулировке критериев, предъявляемых к точечным оценкам мы рассматривали последние как случайные величины.

Точечная оценка математического ожидания.

Пусть задан вариационный ряд частот наблюдаемого признака Х. Назовем выборочным средним и будем обозначать среднее арифметическое значений, наблюденных в выборке: Учитывая повторяющиеся значения, последнее выражение можно преобразовать следующим образом:

Таким образом, выборочное среднее является эмпирическим математическим ожиданием и, поэтому, во-первых, обладает всеми свойствами математического ожидания, во-вторых, является точечной оценкой математического ожидания наблюдаемого признака. Более того, эта оценка яляется наилучшей в силу следующей теоремы.

Теорема. Выборочное среднее есть несмещенная, состоятельная, эффективная оценка математического ожидания.

Доказательство. Учитывая, что результаты наблюдений можно рассматривать как случайные величины, имеющие такое же распределение, как и наблюдаемый признак, получаем

Таким образом, несмещенность доказана.

С другой стороны, в силу теоремы закона больших чисел

каково бы ни было >0. Последнее означает состоятельность выборочного среднего как точечной оценки математического ожидания.

Доказательство эффективности проводится по следующей схеме. Сначала показывают, что минимумом для дисперсий среди всех несмещенных оценок математического ожидания является величина , а затем замечают, что .

Теорема доказана.